ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математическая грамотность

Математическая грамотность · теория к ЕНТ

Статистика, множества, комбинаторика и вероятность

Тема объединяет чтение таблиц и диаграмм, работу с множествами и высказываниями, подсчёт вариантов и вероятность случайных событий.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 02 Неопределенность

Пункт спецификации НЦТ: 05 Статистические таблицы, полигоны частот, гистограммы. Теория множеств и элементы логики. Основы комбинаторики. Основы теории вероятностей

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 10.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Выполнять операции над множествами и строить отрицание высказываний.
  • Считать число вариантов по правилам комбинаторики.
  • Находить вероятность случайного события.

Кратко о главном

  • Множества. |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|, где |A| — число элементов конечного множества A.
  • Отрицание. Для «все решили» отрицание — «хотя бы один не решил», для «хотя бы один решил» — «ни один не решил».
  • Правила произведения и суммы. Шаг 1 — a способов, шаг 2 — b способов при любом исходе шага 1: всего a\cdot b. Один вариант либо из группы в a вариантов, либо из другой группы в b (общих нет) — a+b.
  • Сочетания. Выбор k предметов из n без учёта порядка: C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}, 0\le k\le n, 0!=1.
  • Вероятность. P(A)=\frac{m}{N}, где N — число всех равновозможных исходов, m — благоприятных; 0\le P(A)\le1. Вероятность противоположного события: P(\bar A)=1-P(A).
  • Без возвращения. Вероятности шагов умножают, учитывая оставшиеся предметы: два белых шара подряд из 4 белых и 2 чёрных — \frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=0{,}4.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Известно, что утверждение «Все ученики класса сдали зачёт» ложно. Какое из утверждений обязательно истинно?
  • A)Хотя бы один ученик класса не сдал зачёт
  • B)Ни один ученик класса не сдал зачёт
  • C)Хотя бы один ученик класса сдал зачёт
  • D)Ровно один ученик класса не сдал зачёт
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Отрицание утверждения «все сдали» — «не все сдали», то есть хотя бы один ученик зачёт не сдал: это вариант A. Вариант B — слишком сильное утверждение: зачёт могли не сдать лишь некоторые. Вариант C может оказаться ложным, если зачёт не сдал никто. Вариант D не обязан быть верным: не сдавших могло быть несколько.

Типичные ошибки

  • Складывают число способов вместо умножения, когда выбор идёт по шагам. Если нужен и первый, и второй выбор — умножай.
  • Не замечают, что шар не вернули, и пишут второй множитель как первый. После каждого шага пересчитай, сколько предметов осталось.
  • Отрицание «все сдали» записывают как «никто не сдал». Это не отрицание, а более сильное утверждение, чем нужно: верное отрицание — «хотя бы один не сдал».
  • Путают, важен ли порядок: числа 12 и 21 разные, а дежурные «Али и Бота» и «Бота и Али» — одна и та же пара.

Вопросы по теме

Как найти число элементов объединения двух множеств?
Сложи число элементов каждого множества и вычти число общих элементов: |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|. Например, если 18 учеников ходят на футбол, 12 — на шахматы, а 5 — в обе секции, то хотя бы в одну секцию ходят 18+12-5=25 учеников.
Когда в комбинаторике брать сочетания, а когда — правило произведения?
Если порядок важен (цифры числа, места в очереди, призовые места), считай по шагам и умножай: из цифр 1, 2, 3, 4 получается 4\cdot3=12 двузначных чисел с разными цифрами. Если порядок не важен (выбрать двух дежурных из четырёх), берут сочетания: C_4^2=\frac{4\cdot3}{2}=6, ведь в произведении каждая пара посчитана дважды.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.