ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математическая грамотность

Математическая грамотность · теория к ЕНТ

Задачи на зависимость величин

В таких задачах одна величина меняется вслед за другой: путь за временем, заряд за часами работы, число частей за числом распилов. Главное — верно записать связь.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 03 Изменение и зависимости

Пункт спецификации НЦТ: 06 Логические задачи на изменение одной величины в зависимости от другой

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 10.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Записывать, как одна величина зависит от другой, и находить неизвестное.
  • Отличать прямую и обратную пропорциональность от других зависимостей.
  • Рассуждать по шагам в логических задачах с изменением величин.

Кратко о главном

  • Путь. s=v\cdot t, где s — путь, v — скорость, t — время; единицы должны быть согласованы (км/ч и часы).
  • Движение по реке. Скорость по течению — собственная плюс скорость течения, против течения — собственная минус течение. Скорость течения — их полуразность, собственная — полусумма.
  • Работа. A=p\cdot t, где A — работа, p — производительность. При совместной работе производительности складывают.
  • Пропорциональность. Прямая: y=kx, при x\ne0 отношение \frac{y}{x}=k постоянно. Обратная: y=\frac{k}{x}, x\ne0, произведение xy=k постоянно. Здесь k\ne0.
  • Распилы и промежутки. Бревно на n частей — n-1 распилов (кольцо — n); между n столбами в ряд — n-1 промежутков.
  • Смена режима. Если в каждом режиме расход постоянен, считай участки отдельно: расход в час умножь на время участка, затем результаты сложи.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Скорость лодки по течению реки 15 км/ч, а против течения — 9 км/ч. Найдите скорость течения реки.
  • A)6 км/ч
  • B)12 км/ч
  • C)3 км/ч
  • D)24 км/ч
Ответ и разбор

Верный ответ: C

Пусть v — собственная скорость лодки, u — скорость течения. По течению v+u=15, против течения v-u=9. Вычтем второе из первого: 2u=15-9=6, откуда u=6:2=3 км/ч. Ответ C. Вариант A (6 км/ч) — нашли разность скоростей и забыли разделить её на 2: это удвоенная скорость течения. Вариант B (12 км/ч) — собственная скорость лодки: (15+9):2=12, а спрашивали скорость течения. Вариант D (24 км/ч) — просто сложили две данные скорости.
Заряд телефона 100\%. Видео расходует 15\% заряда в час, режим ожидания — 2\% в час. Найдите заряд после 3 ч видео и затем 10 ч ожидания.
  • A)35\%
  • B)55\%
  • C)49\%
  • D)65\%
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Расход на видео: 15\% \cdot 3 = 45\%, на ожидание: 2\% \cdot 10 = 20\%. Остаток заряда: 100\% - 45\% - 20\% = 35\%. Неверные ответы: 55\% — учли только видео: 100\% - 45\% = 55\%; 49\% — оба режима посчитали по 3 ч: 100\% - (15\% + 2\%) \cdot 3 = 49\%; 65\% — расход на видео взяли только за 1 ч: 100\% - 15\% - 20\% = 65\%.

Типичные ошибки

  • Считают число распилов равным числу частей. Нарисуй бревно: 5 частей — это 4 распила.
  • Находят разность скоростей по течению и против течения и забывают разделить её на 2: эта разность равна удвоенной скорости течения.
  • Считают зависимость пропорциональной, когда это не так. Проверь, постоянно ли отношение (для обратной — произведение) величин: если есть начальное значение или «лишний» шаг, пропорциональности может не быть.
  • При смене режима применяют один расход ко всему времени. Раздели процесс на участки и считай каждый со своим временем.

Вопросы по теме

Как найти скорость течения, если известны скорости по течению и против течения?
Скорость по течению больше собственной скорости лодки на скорость течения, а скорость против течения на столько же меньше. Поэтому их разность равна удвоенной скорости течения: скорость течения — полуразность, а собственная скорость — полусумма. Например, при 20 км/ч и 14 км/ч течение равно 3 км/ч, а собственная скорость — 17 км/ч.
Как понять, что величины обратно пропорциональны?
Положительные величины обратно пропорциональны, если их произведение не меняется: во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая. Так связаны скорость и время на одном и том же пути, число одинаковых рабочих и время выполнения одной работы. Например, 6 рабочих делают работу за 4 дня, тогда 8 таких же рабочих — за 6\cdot4:8=3 дня.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.