ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математическая грамотность

Математическая грамотность · теория к ЕНТ

Логические задачи с геометрией

Задачи, где нужна не длинная формула, а смекалка: посчитать фигуры, найти угол на циферблате, перебрать точки. Важно ничего не пропустить и не посчитать дважды.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 04 Пространство и форма

Пункт спецификации НЦТ: 08 Логические задачи с геометрическим содержанием и нестандартные задачи с геометрическим содержанием

По нашей оценке, в варианте в среднем 1 задание по этой теме из 10.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Систематически пересчитывать фигуры по размерам, не пропуская и не повторяя.
  • Находить число отрезков и треугольников с концами и вершинами в отмеченных точках.
  • Вычислять угол между стрелками часов в заданное время.
  • Применять свойства углов и фигур в нестандартных логических задачах.

Кратко о главном

  • Циферблат. Между соседними числами 30^\circ. Минутная стрелка за минуту поворачивается на 6^\circ, часовая — на 0{,}5^\circ.
  • Угол между стрелками. В h ч m мин (h от 0 до 11) часовая стрелка отстоит от 12 на 30h + 0{,}5m градусов, минутная — на 6m. Угол — модуль разности; если он больше 180^\circ, его вычитают из 360^\circ.
  • Отрезки и треугольники. Из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, получается \frac{n(n-1)}{2} отрезков и \frac{n(n-1)(n-2)}{6} треугольников. Тройки точек на одной прямой треугольника не дают — их вычитают.
  • Квадраты на сетке. В клетчатом квадрате a \times a число квадратов со стороной k клеток (стороны идут по линиям сетки) равно (a-k+1)^2. Всего их 1^2 + 2^2 + \ldots + a^2; для 3 \times 3 это 14.
  • Перебор по группам. Дели фигуры на группы по размеру или положению так, чтобы группы не пересекались и вместе охватывали все случаи.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Найдите угол между часовой и минутной стрелками часов, когда они показывают 3{:}30.
  • A)90^\circ
  • B)105^\circ
  • C)60^\circ
  • D)75^\circ
Ответ и разбор

Верный ответ: D

Одно деление циферблата — 30^\circ. Минутная стрелка стоит на 6: 6 \cdot 30^\circ = 180^\circ от отметки 12. Часовая стрелка за минуту сдвигается на 0{,}5^\circ, поэтому она на 3 \cdot 30^\circ + 30 \cdot 0{,}5^\circ = 105^\circ от отметки 12. Угол между стрелками: 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ. Ответ D. A (90^\circ) — часовую стрелку поставили точно на 3, забыв, что за полчаса она сдвинулась. B (105^\circ) — это положение часовой стрелки от отметки 12, а не угол между стрелками. C (60^\circ) — часовую стрелку поставили на 4: 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

Типичные ошибки

  • Ставят часовую стрелку точно на число часов. За 30 минут она сдвигается на 15^\circ, поэтому в 3{:}30 угол 75^\circ, а не 90^\circ.
  • Для 6 точек, где никакие три не лежат на одной прямой, считают упорядоченные тройки: 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Порядок вершин не важен, поэтому делят на 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6: треугольников 20.
  • На сетке считают только маленькие клетки или забывают всю фигуру целиком. Перебирай размеры по порядку от 1 до самого большого.
  • Записывают в ответ угол больше 180^\circ. Между стрелками обычно ищут меньший угол: если разность больше 180^\circ, вычти её из 360^\circ.

Вопросы по теме

Как найти угол между стрелками часов в 9:20?
Часовая стрелка отстоит от отметки 12 на 9 \cdot 30^\circ + 20 \cdot 0{,}5^\circ = 280^\circ, минутная — на 20 \cdot 6^\circ = 120^\circ. Разность 280^\circ - 120^\circ = 160^\circ; это меньше 180^\circ, значит, угол равен 160^\circ. Если бы разность превысила 180^\circ, ответом было бы 360^\circ минус разность.
Сколько треугольников дают точки, если некоторые из них лежат на одной прямой?
Сначала посчитай все тройки точек: \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, где n — число точек. Затем вычти тройки, лежащие на одной прямой: они треугольника не дают. Например, из 5 точек, где ровно 3 лежат на одной прямой, а других таких троек нет, получается 10 - 1 = 9 треугольников.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.