ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математическая грамотность

Математическая грамотность · теория к ЕНТ

Площадь и периметр в задачах

Периметр отвечает на вопрос «сколько забора или бордюра», площадь — «сколько плитки, краски, газона». Главное — понять, что именно просят найти.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 04 Пространство и форма

Пункт спецификации НЦТ: 09 Логические задачи на применение формулы площади и периметра геометрических фигур

По нашей оценке, задание по этой теме есть не в каждом варианте: в среднем меньше одного из 10.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Понимать, что нужно в задаче: периметр (длина границы) или площадь (покрытие поверхности).
  • Применять формулы площади и периметра прямоугольника, квадрата, треугольника, длины окружности и площади круга.
  • Находить площадь составных фигур и рамок разбиением на части или вычитанием.

Кратко о главном

  • Прямоугольник. Со сторонами a и b: P = 2(a + b), S = ab. Квадрат со стороной a: P = 4a, S = a^2.
  • Треугольник. Периметр — сумма трёх сторон, S = \frac{1}{2}ch, где h — высота, проведённая к стороне c. У прямоугольного треугольника площадь — половина произведения катетов.
  • Круг. При радиусе r длина окружности C = 2\pi r, площадь круга S = \pi r^2.
  • Дорожка вокруг. Вместе с дорожкой ширины x прямоугольник a \times b становится (a + 2x) \times (b + 2x), поэтому площадь дорожки (a + 2x)(b + 2x) - ab.
  • Разрез. При разрезании фигуры на две части сумма площадей не меняется, а сумма периметров растёт на удвоенную длину разреза.
  • Единицы. До вычислений все длины переводят в одни и те же единицы. 1 м = 100 см, но 1 м² = 10\,000 см².

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Прямоугольная клумба длиной 8 м и шириной 5 м со всех сторон окружена дорожкой шириной 1 м. Плиткой мостят только дорожку, сама клумба плиткой не мостится. Какова площадь дорожки?
  • A)70 м²
  • B)26 м²
  • C)30 м²
  • D)14 м²
Ответ и разбор

Верный ответ: C

Дорожка добавляется с обеих сторон, поэтому у внешнего прямоугольника стороны 8 + 2 \cdot 1 = 10 м и 5 + 2 \cdot 1 = 7 м. Его площадь 10 \cdot 7 = 70 м², площадь клумбы 8 \cdot 5 = 40 м². Дорожка: 70 - 40 = 30 м² — ответ C. Вариант A (70) — посчитана вся площадь вместе с клумбой. Вариант D (14) — ширина дорожки прибавлена только с одной стороны: (8 + 1) \cdot (5 + 1) - 40 = 14. Вариант B (26) — периметр клумбы умножен на ширину дорожки: 2 \cdot (8 + 5) \cdot 1 = 26; так теряются четыре квадрата в углах, каждый площадью 1 \cdot 1 = 1 м².
Прямоугольный двор длиной 24 м и шириной 16 м огораживают забором со всех четырёх сторон. Забор собирают из готовых секций длиной 4 м. Для ворот оставляют проём шириной 4 м, там секция не ставится. Сколько секций нужно купить?
  • A)20 секций
  • B)19 секций
  • C)96 секций
  • D)10 секций
Ответ и разбор

Верный ответ: B

Периметр двора: P = 2 \cdot (24 + 16) = 80 м. Проём для ворот занимает 4 м, поэтому секции ставят на длину 80 - 4 = 76 м. Нужное число секций: 76 : 4 = 19 — ответ B. Вариант A (20) получается, если забыть про проём и разделить весь периметр: 80 : 4 = 20. Вариант D (10) — если сложить длину и ширину только один раз: 24 + 16 = 40 м, а затем 40 : 4 = 10; но у прямоугольника таких сторон по две. Вариант C (96) — если вместо периметра посчитать площадь двора 24 \cdot 16 = 384 м² и разделить её на 4.

Типичные ошибки

  • Путают периметр и площадь: для забора считают ab, для плитки — 2(a + b). Сначала реши, что нужно: длина границы или покрытие.
  • Ширину дорожки прибавляют к размеру один раз. Дорожка идёт с двух сторон, поэтому каждый размер растёт на 2x.
  • Площадь дорожки находят как периметр клумбы, умноженный на ширину, и теряют квадраты в углах. Надёжнее из площади внешней фигуры вычесть площадь внутренней.
  • Забывают про проёмы: ворота, двери, окна. Ширину проёма вычитают из периметра, а площадь окна — из площади стены.

Вопросы по теме

Как изменится площадь прямоугольника, если его длину и ширину увеличить в 2 раза?
Площадь увеличится в 4 раза, а периметр — в 2 раза. Площадь — произведение двух длин: (2a)(2b) = 4ab, а периметр — сумма длин: 2(2a + 2b) = 2 \cdot 2(a + b). В общем случае при изменении всех размеров фигуры в k раз (k > 0) периметр меняется в k раз, а площадь — в k^2 раз.
Почему после разрезания фигуры сумма периметров частей больше исходного периметра?
Линия разреза становится границей обеих частей, поэтому её длина входит в сумму периметров дважды. Например, лист 10 \times 6 см имеет периметр 32 см; после разреза параллельно стороне 6 см сумма периметров частей равна 32 + 2 \cdot 6 = 44 см. Суммарная площадь при этом не меняется: 60 см².
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.