Как узнать, сколько краски нужно на поверхность тела?

Сначала найди площадь всех окрашиваемых поверхностей и не включай те, что не красят, например дно, стоящее на земле. Затем умножь эту площадь на расход краски на 1 м². Если размеры даны в сантиметрах, переведи площадь в квадратные метры: 1 м² = 10 000 см². Если краску продают банками, число банок округляют в большую сторону.

Почему после распила сумма площадей частей больше площади целого тела?

Старые грани просто делятся между частями, и их общая площадь не меняется. Но разрез создаёт два новых одинаковых сечения, по одному у каждой части. Поэтому сумма равна площади целого тела плюс удвоенная площадь сечения. Например, куб с ребром 2 см имеет площадь 24 см², а после распила пополам параллельно грани получается 24 + 2 · 4 = 32 см².

← Все темы: Математическая грамотность

Математическая грамотность · теория к ЕНТ

Площадь поверхности тел в задачах

Площадь поверхности показывает, сколько материала уйдёт на внешнюю оболочку тела: краски, плёнки, утеплителя или упаковки.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 04 Пространство и форма

Пункт спецификации НЦТ: 10 Логические задачи на применение формулы площади поверхности геометрических тел

По нашей оценке, задание по этой теме есть не в каждом варианте: в среднем меньше одного из 10.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Выбирать формулу площади поверхности по форме тела: параллелепипед, куб, цилиндр, конус, шар.
Определять по условию, какие поверхности считать: есть ли у тела дно, крышка, открытые стороны.
Находить, как меняется площадь поверхности при распиле, склеивании или увеличении размеров тела.

Кратко о главном

Прямоугольный параллелепипед. S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c — длина, ширина и высота. У куба с ребром a: S = 6a^2.
Цилиндр. Боковая поверхность 2\pi r h, два основания 2\pi r^2, полная S = 2\pi r(r + h); r — радиус основания, h — высота.
Конус. Боковая поверхность \pi r l, полная \pi r(r + l), где l — образующая: l = \sqrt{r^2 + h^2}.
Шар. Площадь поверхности шара радиуса R: S = 4\pi R^2.
Открытые стороны. Если нет крышки или дна, вычти их площадь. У трубы нет обоих оснований, её внешняя поверхность — 2\pi r h.
Распил и склейка. Плоский разрез добавляет две новые грани, равные сечению. Склейка двух тел уменьшает сумму площадей на удвоенную площадь соприкосновения.
Подобие. Если все размеры увеличить в k раз, площадь поверхности вырастет в k^2 раз.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Брусок 11 см × 6 см × 2 см распилили параллельно грани 6 см × 2 см на две части. Найдите сумму площадей поверхностей двух частей.

A)200 см²
B)212 см²
C)224 см²
D)400 см²

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Площадь поверхности бруска: S = 2(11\cdot 6 + 6\cdot 2 + 11\cdot 2) = 2\cdot(66 + 12 + 22) = 200 см². Распил даёт две новые грани 6 см × 2 см, каждая площадью 6\cdot 2 = 12 см², вместе 2\cdot 12 = 24 см². Сумма площадей частей: 200 + 24 = 224 см². Неверные ответы: 200 см² — новые грани не учтены; 212 см² — учтена только одна новая грань; 400 см² — площадь бруска удвоена, будто каждая часть имеет ту же поверхность, что и целый брусок.

Типичные ошибки

Считают только боковую поверхность, хотя по условию красят и дно, и крышку. Перед сложением перечисли все поверхности, которые обрабатывают.
При распиле прибавляют одну новую грань вместо двух или забывают о них совсем. Разрез даёт по новой грани каждой из двух частей.
Теряют множитель 2: пишут \pi r h вместо 2\pi r h или не удваивают ab + bc + ac. Боковая поверхность цилиндра — прямоугольник 2\pi r на h, у параллелепипеда грани попарно равны.
Путают диаметр с радиусом или высоту конуса с образующей. Диаметр раздели на 2, а образующую найди по теореме Пифагора.

Вопросы по теме

Как узнать, сколько краски нужно на поверхность тела?: Сначала найди площадь всех окрашиваемых поверхностей и не включай те, что не красят, например дно, стоящее на земле. Затем умножь эту площадь на расход краски на 1 м². Если размеры даны в сантиметрах, переведи площадь в квадратные метры: 1 м² = 10\,000 см². Если краску продают банками, число банок округляют в большую сторону.
Почему после распила сумма площадей частей больше площади целого тела?: Старые грани просто делятся между частями, и их общая площадь не меняется. Но разрез создаёт два новых одинаковых сечения, по одному у каждой части. Поэтому сумма равна площади целого тела плюс удвоенная площадь сечения. Например, куб с ребром 2 см имеет площадь 24 см², а после распила пополам параллельно грани получается 24 + 2 \cdot 4 = 32 см².

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.