ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математикалық сауаттылық

Математикалық сауаттылық · ҰБТ-ға арналған теория

Есептердегі денелердің бет ауданы

Бет ауданы дененің сыртын жабуға қанша материал кететінін көрсетеді: бояу, үлдір, жылу оқшаулағыш материал немесе қаптама.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 04 Кеңістік пен форма

ҰТО спецификациясының тармағы: 10 Геометриялық денелердің бет аудандарының формуласын қолдануға берілген логикалық есептер

Біздің бағалауымызша, бұл тақырып бойынша тапсырма әр нұсқада кездесе бермейді: 10 тапсырманың ішінде орта есеппен біреуден аз.

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Дененің пішініне қарай бет ауданының формуласын таңдау: параллелепипед, куб, цилиндр, конус, шар.
  • Есептің шартынан қай беттерді санау керегін анықтау: дененің түбі, қақпағы, ашық жақтары бар ма.
  • Денені аралағанда, желімдегенде немесе өлшемдерін үлкейткенде бет ауданы қалай өзгеретінін табу.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Тікбұрышты параллелепипед. S = 2(ab + bc + ac), мұндағы a, b, c — ұзындығы, ені және биіктігі. Қыры a болатын кубта S = 6a^2.
  • Цилиндр. Бүйір беті 2\pi r h, екі табаны 2\pi r^2, толық беті S = 2\pi r(r + h); r — табан радиусы, h — биіктігі.
  • Конус. Бүйір беті \pi r l, толық беті \pi r(r + l), мұндағы l — жасаушы: l = \sqrt{r^2 + h^2}.
  • Шар. Радиусы R шардың бет ауданы: S = 4\pi R^2.
  • Ашық жақтар. Қақпағы не түбі жоқ болса, олардың ауданын шегер. Құбырдың екі табаны да жоқ, оның сыртқы беті — 2\pi r h.
  • Аралау және желімдеу. Денені жазықтықпен кесу қимаға тең екі жаңа жақ қосады. Екі денені желімдесе, аудандар қосындысы жанасу ауданының екі есесіне кемиді.
  • Ұқсастық. Барлық өлшемді k есе үлкейтсе, бет ауданы k^2 есе артады.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

11 см × 6 см × 2 см білеуді 6 см × 2 см жағына параллель етіп екі бөлікке аралады. Екі бөліктің бет аудандарының қосындысын табыңыз.
  • A)200 см²
  • B)212 см²
  • C)224 см²
  • D)400 см²
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Білеудің бет ауданы: S = 2(11\cdot 6 + 6\cdot 2 + 11\cdot 2) = 2\cdot(66 + 12 + 22) = 200 см². Аралағанда 6 см × 2 см екі жаңа жақ пайда болады, әрқайсысының ауданы 6\cdot 2 = 12 см², бірге 2\cdot 12 = 24 см². Бөліктердің бет аудандарының қосындысы: 200 + 24 = 224 см². Қате жауаптар: 200 см² — жаңа жақтар ескерілмеген; 212 см² — тек бір жаңа жақ қосылған; 400 см² — әр бөліктің беті бүтін білеудікіндей деп, аудан екі еселенген.

Жиі кететін қателер

  • Шартта түбі мен қақпағы да боялады делсе де, тек бүйір бетін есептейді. Қоспас бұрын өңделетін беттердің бәрін тізіп шық.
  • Аралағанда екі жаңа жақтың орнына біреуін ғана қосады немесе мүлде ұмытады. Кесу екі бөліктің әрқайсысына бір-бір жаңа жақ береді.
  • 2 көбейткішін жоғалтады: 2\pi r h орнына \pi r h жазады не ab + bc + ac қосындысын екі еселемейді. Цилиндрдің бүйір беті — қабырғалары 2\pi r және h болатын тіктөртбұрыш, параллелепипедтің жақтары қос-қостан тең.
  • Диаметрді радиуспен, конустың биіктігін жасаушымен шатастырады. Диаметрді 2-ге бөл, ал жасаушыны Пифагор теоремасымен тап.

Тақырып бойынша сұрақтар

Дененің бетіне қанша бояу кететінін қалай білуге болады?
Алдымен боялатын беттердің бәрінің ауданын тап, ал боялмайтын беттерді, мысалы жерде тұрған түбін, қоспа. Содан кейін осы ауданды 1 м²-ге жұмсалатын бояу мөлшеріне көбейт. Өлшемдер сантиметрмен берілсе, ауданды шаршы метрге айналдыр: 1 м² = 10\,000 см². Бояу құтымен сатылса, құты санын артығымен дөңгелектейді.
Неге аралағаннан кейін бөліктердің бет аудандарының қосындысы бүтін дененің бет ауданынан көп болады?
Бұрынғы жақтар бөліктерге бөлінеді, бірақ олардың жалпы ауданы өзгермейді. Ал кесу екі бірдей жаңа қима береді, әр бөлікке біреуден. Сондықтан қосынды бүтін дененің ауданы мен қима ауданының екі еселенгенінің қосындысына тең. Мысалы, қыры 2 см болатын кубтың бет ауданы 24 см², оны жағына параллель етіп қақ бөлсе, 24 + 2 \cdot 4 = 32 см² шығады.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.