Тіктөртбұрыштың ұзындығы мен енін 2 есе арттырса, ауданы қалай өзгереді?

Ауданы 4 есе, ал периметрі 2 есе артады. Аудан — екі ұзындықтың көбейтіндісі: (2a)(2b) = 4ab, ал периметр — ұзындықтардың қосындысы: 2(2a + 2b) = 2 · 2(a + b). Жалпы алғанда, фигураның барлық өлшемі k есе өзгерсе (k > 0), периметрі k есе, ауданы k^2 есе өзгереді.

Фигураны қиғаннан кейін бөліктер периметрлерінің қосындысы неге бастапқы периметрден үлкен болады?

Қию сызығы екі бөліктің де шекарасына айналады, сондықтан оның ұзындығы периметрлер қосындысына екі рет кіреді. Мысалы, 10 × 6 см парақтың периметрі 32 см; оны 6 см қабырғаға параллель қиғанда бөліктер периметрлерінің қосындысы 32 + 2 · 6 = 44 см болады. Ал аудандардың қосындысы өзгермейді: 60 см².

← Барлық тақырып: Математикалық сауаттылық

Математикалық сауаттылық · ҰБТ-ға арналған теория

Есептердегі аудан мен периметр

Периметр «қанша қоршау не жиек керек» деген сұраққа, аудан «қанша плитка, бояу, көгал керек» деген сұраққа жауап береді. Ең бастысы — нені табу керегін түсіну.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 04 Кеңістік пен форма

ҰТО спецификациясының тармағы: 09 Геометриялық фигуралардың периметрі мен ауданының формуласын қолдануға берілген логикалық есептер

Біздің бағалауымызша, бұл тақырып бойынша тапсырма әр нұсқада кездесе бермейді: 10 тапсырманың ішінде орта есеппен біреуден аз.

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

Есепте не керек екенін ажырату: периметр (шекараның ұзындығы) ма, әлде аудан (бетті жабу) ма.
Тіктөртбұрыш, шаршы, үшбұрыш ауданы мен периметрінің, шеңбер ұзындығы мен дөңгелек ауданының формулаларын қолдану.
Құрама фигуралар мен жақтаудың ауданын бөліктерге бөлу немесе азайту арқылы табу.

Ең бастысы туралы қысқаша

Тіктөртбұрыш. Қабырғалары a және b болса: P = 2(a + b), S = ab. Қабырғасы a-ға тең шаршы үшін: P = 4a, S = a^2.
Үшбұрыш. Периметрі — үш қабырғаның қосындысы, S = \frac{1}{2}ch, мұндағы h — c қабырғасына түсірілген биіктік. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы катеттер көбейтіндісінің жартысына тең.
Дөңгелек. Радиусы r болса, шеңбер ұзындығы C = 2\pi r, дөңгелек ауданы S = \pi r^2.
Айналадағы жол. Айналасына ені x жол салынса, a \times b тіктөртбұрыштың өлшемдері (a + 2x) \times (b + 2x) болады, сондықтан жолдың ауданы (a + 2x)(b + 2x) - ab.
Қию. Фигураны екі бөлікке қиғанда аудандардың қосындысы өзгермейді, ал периметрлердің қосындысы қию сызығы ұзындығының екі есесіне артады.
Өлшем бірліктері. Есептеуден бұрын барлық ұзындықтар бір өлшем бірлігіне келтіріледі. 1 м = 100 см, бірақ 1 м² = 10\,000 см².

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Ұзындығы 8 м, ені 5 м тікбұрышты гүлзарды жан-жағынан ені 1 м жаяу жол қоршап тұр. Плиткамен тек жол төселеді, гүлзардың өзі төселмейді. Жолдың ауданы қандай?

A)70 м²
B)26 м²
C)30 м²
D)14 м²

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Жол екі жағынан да қосылады, сондықтан сыртқы тікбұрыштың қабырғалары 8 + 2 \cdot 1 = 10 м және 5 + 2 \cdot 1 = 7 м. Оның ауданы 10 \cdot 7 = 70 м², гүлзардың ауданы 8 \cdot 5 = 40 м². Жол: 70 - 40 = 30 м² — C жауабы. A нұсқасында (70) гүлзармен қоса бүкіл аудан есептелген. D нұсқасында (14) жолдың ені бір жағынан ғана қосылған: (8 + 1) \cdot (5 + 1) - 40 = 14. B нұсқасында (26) гүлзардың периметрі жолдың еніне көбейтілген: 2 \cdot (8 + 5) \cdot 1 = 26; сонда бұрыштардағы төрт шаршы жоғалады, әрқайсысының ауданы 1 \cdot 1 = 1 м².

Ұзындығы 24 м, ені 16 м тікбұрышты аулаға төрт жағынан да қоршау қойылады. Қоршау ұзындығы 4 м дайын секциялардан жиналады. Қақпа үшін ені 4 м саңылау қалдырылады, ол жерге секция қойылмайды. Қанша секция сатып алу керек?

A)20 секция
B)19 секция
C)96 секция
D)10 секция

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: B

Ауланың периметрі: P = 2 \cdot (24 + 16) = 80 м. Қақпа саңылауы 4 м орын алады, сондықтан секциялар қойылатын ұзындық: 80 - 4 = 76 м. Қажет секция саны: 76 : 4 = 19 — B жауабы. A нұсқасы (20) саңылауды ұмытып, бүкіл периметрді бөлгенде шығады: 80 : 4 = 20. D нұсқасы (10) — ұзындық пен енді бір рет қана қосқанда: 24 + 16 = 40 м, сосын 40 : 4 = 10; ал тікбұрышта ондай қабырғалар екеуден. C нұсқасы (96) — периметрдің орнына ауланың ауданын 24 \cdot 16 = 384 м² деп есептеп, оны 4-ке бөлгенде шығады.

Жиі кететін қателер

Периметр мен ауданды шатастырады: қоршауға ab, плиткаға 2(a + b) есептейді. Алдымен шекараның ұзындығы керек пе, әлде бетті жабу керек пе — соны анықта.
Жолдың енін өлшемге бір рет қана қосады. Жол екі жақтан өтеді, сондықтан әр өлшем 2x-ке артады.
Жолдың ауданын гүлзар периметрін жолдың еніне көбейтіп табады да, бұрыштардағы шаршыларды ескермей қалады. Сыртқы фигураның ауданынан ішкісінің ауданын азайту сенімдірек.
Қақпа, есік, терезе ойықтарын ескермейді. Ойықтың енін периметрден, терезенің ауданын қабырғаның ауданынан азайту керек.

Тақырып бойынша сұрақтар

Тіктөртбұрыштың ұзындығы мен енін 2 есе арттырса, ауданы қалай өзгереді?: Ауданы 4 есе, ал периметрі 2 есе артады. Аудан — екі ұзындықтың көбейтіндісі: (2a)(2b) = 4ab, ал периметр — ұзындықтардың қосындысы: 2(2a + 2b) = 2 \cdot 2(a + b). Жалпы алғанда, фигураның барлық өлшемі k есе өзгерсе (k > 0), периметрі k есе, ауданы k^2 есе өзгереді.
Фигураны қиғаннан кейін бөліктер периметрлерінің қосындысы неге бастапқы периметрден үлкен болады?: Қию сызығы екі бөліктің де шекарасына айналады, сондықтан оның ұзындығы периметрлер қосындысына екі рет кіреді. Мысалы, 10 \times 6 см парақтың периметрі 32 см; оны 6 см қабырғаға параллель қиғанда бөліктер периметрлерінің қосындысы 32 + 2 \cdot 6 = 44 см болады. Ал аудандардың қосындысы өзгермейді: 60 см².

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.