Какой способ выбрать для системы: подстановку или сложение?

Подстановка удобна, когда одна переменная легко выражается, например коэффициент при ней равен 1. Сложение удобнее, когда коэффициенты при одной переменной равны или противоположны либо легко становятся такими после умножения. Оба способа дают один и тот же ответ, выбирают тот, где меньше вычислений.

Как понять, что система линейных уравнений не имеет решений?

Если коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены — нет, прямые параллельны и не пересекаются. Например, в системе x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 после умножения первого уравнения на 2 получаем 2x + 4y = 6, что противоречит второму уравнению. Значит, решений нет.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Системы уравнений с двумя переменными

Система — несколько уравнений, для которых ищут общие решения: пары чисел (x; y), удовлетворяющие всем уравнениям одновременно. Через системы часто решают текстовые задачи на движение, работу и проценты.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 03 Системы уравнений

Пункт спецификации НЦТ: 08 Системы линейных уравнений с двумя переменными. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Решать системы линейных уравнений способами подстановки и сложения
Решать нелинейные системы подстановкой, заменой переменных и разложением на множители
Составлять систему по условию текстовой задачи и проверять ответ

Кратко о главном

Подстановка. Из одного уравнения выражают переменную (из x + y = 56 — y = 56 - x) и подставляют в другое: остаётся уравнение с одной переменной.
Сложение. Уравнения умножают на числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складывают.
Число решений. Для a_1x + b_1y = c_1, a_2x + b_2y = c_2 при a_2, b_2, c_2 \ne 0: если \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}, решение одно; если \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}, решений нет; иначе — бесконечно много.
Симметричная система. Если x + y = s и xy = p, то x и y — корни t^2 - st + p = 0. Решения — (t_1; t_2) и (t_2; t_1); если корней нет, нет и решений.
Нелинейные системы. Помогают x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) и x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy. Найденные пары проверяют в обоих уравнениях.
Движение по реке. Скорость по течению v + u, против течения v - u, где v — собственная скорость, u — скорость течения.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

На поле работают две бригады. Если первая бригада работает 3 дня, а вторая — 4 дня, вместе они убирают 34 га. Если первая работает 2 дня, а вторая — 5 дней, они убирают 32 га. Сколько гектаров убирает за день первая бригада

A)4 га
B)2 га
C)6 га
D)10 га

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Пусть первая бригада убирает x га в день, а вторая y га: 3x + 4y = 34 и 2x + 5y = 32. Умножим первое уравнение на 5, второе на 4 и вычтем: 15x - 8x = 170 - 128, то есть 7x = 42 и x = 6, тогда y = 4. Вариант A — дневная норма второй бригады: спрашивают не о ней. Вариант B — разность x - y = 2, которая остаётся, если просто вычесть одно уравнение из другого и на этом остановиться. Вариант D — сумма x + y = 10: столько бригады убирают за день вдвоём.

Типичные ошибки

Находят не ту переменную: в ответ пишут y, когда спрашивают x. Перед записью ответа перечитай вопрос задачи.
Останавливаются на промежуточном результате: получили 2x = 30 и забыли разделить на 2. Доводи решение до искомой величины.
При умножении уравнения на число умножают только левую часть. Умножать нужно обе части, включая свободный член.
В нелинейной системе теряют решения: из x^2 = 9 берут только x = 3 и забывают x = -3.

Вопросы по теме

Какой способ выбрать для системы: подстановку или сложение?: Подстановка удобна, когда одна переменная легко выражается, например коэффициент при ней равен 1. Сложение удобнее, когда коэффициенты при одной переменной равны или противоположны либо легко становятся такими после умножения. Оба способа дают один и тот же ответ, выбирают тот, где меньше вычислений.
Как понять, что система линейных уравнений не имеет решений?: Если коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены — нет, прямые параллельны и не пересекаются. Например, в системе x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 после умножения первого уравнения на 2 получаем 2x + 4y = 6, что противоречит второму уравнению. Значит, решений нет.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.