ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Показательные и логарифмические уравнения

Уравнения, в которых неизвестное стоит в показателе степени или под знаком логарифма. Они встречаются в задачах на рост и проценты, а также в системах уравнений.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 02 Уравнения

Пункт спецификации НЦТ: 07 Показательные уравнения. Логарифмические уравнения

По нашей оценке, в варианте в среднем 2–3 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Решать показательные уравнения приведением к одному основанию, вынесением общего множителя и заменой переменной
  • Решать логарифмические уравнения по определению логарифма и с помощью его свойств
  • Находить ОДЗ и отбрасывать посторонние корни

Кратко о главном

  • Одно основание. При a > 0, a \ne 1 уравнение a^{f(x)} = a^{g(x)} равносильно уравнению f(x) = g(x).
  • Замена. Уравнение вида a^{2x} + b \cdot a^x + c = 0 заменой t = a^x, где t > 0, сводится к квадратному.
  • Определение логарифма. \log_a b = c означает a^c = b; здесь a > 0, a \ne 1, b > 0.
  • Свойства. При x > 0, y > 0: \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \log_a x^k = k\log_a x.
  • Другое основание. \log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x; в общем виде \log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a} (здесь k \ne 0; c > 0, c \ne 1).
  • ОДЗ. Выражение под логарифмом больше нуля, основание положительно и не равно 1. Каждый найденный корень сверяй с ОДЗ исходного уравнения.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Решите уравнение: \log_{2}(x-3) + \log_{2}(x+3) = 4
  • A)25
  • B)8
  • C)5
  • D)-5
Ответ и разбор

Верный ответ: C

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения: \log_{2}((x-3)(x+3)) = 4, откуда x^2 - 9 = 2^4 и x^2 = 25. Получаем x = 5 и x = -5. Область допустимых значений требует x - 3 > 0, то есть x > 3, поэтому x = -5 — посторонний корень, и остаётся x = 5. Вариант D — как раз этот посторонний корень, оставленный без проверки области допустимых значений. Вариант A — значение x^2, записанное вместо самого корня. Вариант B появляется, если сумму логарифмов подменить логарифмом суммы: тогда \log_{2}(2x) = 4 даёт 2x = 16 и x = 8.
Решите уравнение: \log_{16} x + \log_{4} x = 6
  • A)16
  • B)64
  • C)256
  • D)262\,144
Ответ и разбор

Верный ответ: C

ОДЗ: x > 0. Переходим к основанию 4: \log_{16} x = \frac{1}{2}\log_{4} x. Уравнение принимает вид \frac{1}{2}\log_{4} x + \log_{4} x = 6, то есть \frac{3}{2}\log_{4} x = 6, откуда \log_{4} x = 4 и x = 4^{4} = 256. Ответ: 256. Вариант 16 — ошибка \log_{16} x = 2\log_{4} x: тогда 3\log_{4} x = 6 и x = 4^{2}. Вариант 64 — вместо \log_{16} x записали \log_{4} x: тогда 2\log_{4} x = 6 и x = 4^{3}. Вариант 262\,144 — обе части умножили на \frac{3}{2}, а не разделили: \log_{4} x = 9 и x = 4^{9}.

Типичные ошибки

  • Заменяют сумму логарифмов логарифмом суммы. Верно: \log_a x + \log_a y = \log_a(xy), а не \log_a(x+y).
  • Не проверяют ОДЗ после применения свойств: при переходе к \log_a(xy) область расширяется, и могут появиться посторонние корни. Подставь корень в исходное уравнение.
  • После замены t = a^x оставляют отрицательное или нулевое значение t. Но a^x > 0 всегда, такой корень отбрасывают.
  • Путают \log_{16} x с 2\log_4 x. На самом деле \log_{16} x = \frac{1}{2}\log_4 x, потому что 16 = 4^2.

Вопросы по теме

Почему в логарифмических уравнениях появляются посторонние корни?
Свойства логарифмов меняют область определения. Например, \log_2(x-3) + \log_2(x+3) имеет смысл только при x > 3, а \log_2((x-3)(x+3)) — ещё и при x < -3. Решив преобразованное уравнение, можно получить корень, при котором исходные логарифмы не существуют. Поэтому каждый корень сверяют с ОДЗ исходного уравнения.
Как решить показательное уравнение, если основания разные, например 4 и 8?
Оба числа представляют как степени общего основания: 4 = 2^2, 8 = 2^3. Тогда 4^x = 8 превращается в 2^{2x} = 2^3, откуда 2x = 3 и x = 1{,}5. Если общего основания нет, обе части логарифмируют: из a^x = b при b > 0 следует x = \log_a b.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.