ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер

Белгісіз дәреже көрсеткішінде немесе логарифм белгісінің астында тұратын теңдеулер. Олар өсу мен пайыз есептерінде, теңдеулер жүйесінде де кездеседі.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 02 Теңдеулер

ҰТО спецификациясының тармағы: 07 Көрсеткіштік теңдеулер. Логарифмдік теңдеулер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 2–3 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Көрсеткіштік теңдеулерді бір негізге келтіру, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу
  • Логарифмдік теңдеулерді логарифм анықтамасы мен қасиеттері арқылы шешу
  • Айнымалының мүмкін мәндер жиынын (ММЖ) тауып, бөгде түбірлерді алып тастау

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Бірдей негіз. a > 0, a \ne 1 болса, a^{f(x)} = a^{g(x)} теңдеуі f(x) = g(x) теңдеуімен мәндес.
  • Жаңа айнымалы. a^{2x} + b \cdot a^x + c = 0 түріндегі теңдеу t = a^x алмастыруымен квадрат теңдеуге келеді, мұнда t > 0.
  • Логарифм анықтамасы. \log_a b = c теңдігі a^c = b дегенді білдіреді; мұнда a > 0, a \ne 1, b > 0.
  • Қасиеттері. x > 0, y > 0 болғанда: \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \log_a x^k = k\log_a x.
  • Жаңа негізге көшу. \log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x; жалпы түрі \log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a} (мұнда k \ne 0; c > 0, c \ne 1).
  • Мүмкін мәндер жиыны. Логарифм астындағы өрнек нөлден үлкен, ал негізі оң әрі 1-ге тең емес болуы керек. Табылған әр түбірді бастапқы теңдеудің ММЖ-сымен салыстыр.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\log_{2}(x-3) + \log_{2}(x+3) = 4 теңдеуін шешіңіз
  • A)25
  • B)8
  • C)5
  • D)-5
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Негіздері бірдей логарифмдердің қосындысы — көбейтіндінің логарифмі: \log_{2}((x-3)(x+3)) = 4, бұдан x^2 - 9 = 2^4 және x^2 = 25. Сонда x = 5 және x = -5 шығады. Анықталу облысы x - 3 > 0 болуын талап етеді, яғни x > 3, сондықтан x = -5 — бөгде түбір, тек x = 5 қалады. D нұсқасы — дәл сол бөгде түбір, анықталу облысы тексерілмей қалдырылған. A нұсқасы — түбірдің орнына жазылған x^2 мәні. B нұсқасы логарифмдердің қосындысын қосындының логарифмімен ауыстырғанда пайда болады: сонда \log_{2}(2x) = 4 теңдеуі 2x = 16 және x = 8 береді.
Теңдеуді шешіңіз: \log_{16} x + \log_{4} x = 6
  • A)16
  • B)64
  • C)256
  • D)262\,144
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Анықталу облысы: x > 0. 4 негізіне көшеміз: \log_{16} x = \frac{1}{2}\log_{4} x. Теңдеу \frac{1}{2}\log_{4} x + \log_{4} x = 6 түріне келеді, яғни \frac{3}{2}\log_{4} x = 6, осыдан \log_{4} x = 4 және x = 4^{4} = 256. Жауабы: 256. 16 нұсқасы — \log_{16} x = 2\log_{4} x деп қате жазу: онда 3\log_{4} x = 6 және x = 4^{2}. 64 нұсқасы — \log_{16} x орнына \log_{4} x деп жазу: онда 2\log_{4} x = 6 және x = 4^{3}. 262\,144 нұсқасы — екі жағын \frac{3}{2} санына бөлудің орнына көбейту: \log_{4} x = 9 және x = 4^{9}.

Жиі кететін қателер

  • Логарифмдердің қосындысын қосындының логарифмі деп алады. Дұрысы: \log_a x + \log_a y = \log_a(xy), ал \log_a(x+y) емес.
  • Қасиеттерді қолданған соң мүмкін мәндер жиынын тексермейді: \log_a(xy) түріне көшкенде бұл жиын кеңейіп, бөгде түбір шығуы мүмкін. Түбірді бастапқы теңдеуге қойып тексер.
  • t = a^x алмастыруынан кейін t айнымалысының теріс не нөлге тең мәнін қалдырады. Ал a^x әрқашан оң, мұндай түбір алынып тасталады.
  • \log_{16} x өрнегін 2\log_4 x деп жазады. Дұрысы \log_{16} x = \frac{1}{2}\log_4 x, себебі 16 = 4^2.

Тақырып бойынша сұрақтар

Логарифмдік теңдеулерде бөгде түбірлер неліктен пайда болады?
Логарифм қасиеттері айнымалының мүмкін мәндер жиынын (ММЖ) өзгертеді. Мысалы, \log_2(x-3) + \log_2(x+3) өрнегі тек x > 3 болғанда мағыналы, ал \log_2((x-3)(x+3)) өрнегі x < -3 болғанда да анықталған. Түрлендірілген теңдеуден бастапқы логарифмдер мағынасыз болатын түбір шығуы мүмкін. Сондықтан әр түбір бастапқы теңдеудің ММЖ-сымен тексеріледі.
Негіздері әртүрлі болса, мысалы 4 пен 8, көрсеткіштік теңдеу қалай шешіледі?
Екі санды да ортақ негіздің дәрежесі түрінде жазады: 4 = 2^2, 8 = 2^3. Сонда 4^x = 8 теңдеуі 2^{2x} = 2^3 түріне келеді, бұдан 2x = 3, x = 1{,}5. Ортақ негіз табылмаса, екі жағын логарифмдейді: b > 0 болғанда a^x = b теңдеуінен x = \log_a b шығады.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.