Тригонометриялық теңдеудің кесіндідегі түбірлері қалай іріктеледі?

Түбірлердің жалпы формуласын жазып, n = 0, ± 1, ± 2, ldots мәндерін қояды да, кесіндіге (ұштарын қоса) түсетіндерін ғана қалдырады. Мысалы, cos x = 0 теңдеуінің [0; 2π] кесіндісіндегі түбірлері — x = (π)/(2) және x = (3π)/(2). Түбірлерді бірлік шеңбер арқылы да іріктеуге болады.

Иррационал теңдеудің түбірлерін міндетті түрде тексеру керек пе?

Екі жағы квадратталса, иә: sqrtf = g мен sqrtf = -g теңдеулері квадраттағаннан кейін бірдей f = g^2 түріне келеді, сондықтан бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. Тексеру үшін түбірді бастапқы теңдеуге қояды немесе g(x) ≥ 0 шартын қарайды. Мысалы, sqrt2x + 3 = x теңдеуін квадраттағаннан кейін 3 және -1 түбірлері шығады, бірақ тек 3 жарайды.

← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Тригонометриялық және иррационал теңдеулер

Тригонометриялық теңдеулер \sin x = a сияқты қарапайым түрге келтіріледі, ал иррационал теңдеуде квадраттау арқылы түбір белгісінен құтылып, табылған түбірлерді бастапқы теңдеуге қойып тексереді.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 02 Теңдеулер

ҰТО спецификациясының тармағы: 06 Тригонометриялық теңдеулер. Иррационал теңдеулер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

\sin x = a, \cos x = a, \mathrm{tg}\,x = a қарапайым теңдеулерін шешу және күрделірек теңдеулерді соларға келтіру.
Тригонометриялық теңдеудің көрсетілген аралықтағы түбірлерін іріктеу.
Иррационал теңдеулерді квадраттау және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу.
Табылған түбірлерді тексеріп, бөгде түбірлерді алып тастау.

Ең бастысы туралы қысқаша

Синус. \sin x = a, |a| \le 1: x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}. |a| > 1 болса, түбірі жоқ.
Косинус. \cos x = a, |a| \le 1: x = \pm \arccos a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. |a| > 1 болса, түбірі жоқ.
Тангенс. \mathrm{tg}\,x = a кез келген a үшін шешіледі: x = \mathrm{arctg}\,a + \pi n, n \in \mathbb{Z}.
Дербес жағдайлар. \sin x = 0: x = \pi n; \cos x = 0: x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \sin x = 1: x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \cos x = 1: x = 2\pi n.
Түбір және квадрат. \sqrt{f(x)} = g(x) теңдеуі g(x) \ge 0 шартымен f(x) = g^2(x) теңдеуімен мәндес. Бұл шартсыз квадраттағанда бөгде түбірлер шығуы мүмкін.
Жаңа айнымалы. x - 5\sqrt{x} + 6 = 0 сияқты теңдеуде t = \sqrt{x}, t \ge 0 деп алады; t-ның теріс мәндері алынып тасталады.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\sqrt{2x+3}=x теңдеуін шешіңіз

A)-3
B)-1
C)3
D)-1 және 3

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Квадраттағаннан кейін 2x + 3 = x^2, яғни x^2 - 2x - 3 = 0 шығады, оның түбірлері x = 3 және x = -1. Тексеру міндетті: x = -1 болғанда сол жақ 1-ге тең, ал оң жақ -1-ге тең, түбір бөгде — арифметикалық түбір теріс болмайды; x = 3 болғанда екі жақ та 3-ке тең. D нұсқасы — квадрат теңдеудің тексерусіз жазылған екі түбірі. B нұсқасы дәл сол бөгде түбірді қалдырады. A нұсқасы тек сол жақты квадраттағанда шығады: 2x + 3 = x.

x-5\sqrt{x}+6=0 теңдеуінің түбірлерінің қосындысын табыңыз.

A)13
B)5
C)36
D)25

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

t=\sqrt{x}, t\ge 0 деп белгілейік. Онда x=t^2 және t^2-5t+6=0, t_1=2, t_2=3 — екеуі де теріс емес. Демек, x_1=2^2=4, x_2=3^2=9, түбірлердің қосындысы 4+9=13. Қате нұсқалар: 5 — бұл x түбірлерінің емес, көмекші теңдеу түбірлерінің t_1+t_2 қосындысы; 36 — қосындының орнына түбірлердің көбейтіндісі алынған: 4\cdot 9=36; 25 — қосынды квадратталған: 2^2+3^2 орнына (2+3)^2=25.

Жиі кететін қателер

Квадраттағаннан кейін түбірлерді тексермейді. \sqrt{2x + 3} = x теңдеуінде -1 — бөгде түбір: арифметикалық түбір теріс бола алмайды.
Периодты шатастырады. Дұрысы: \cos x = a үшін 2\pi n, ал \mathrm{tg}\,x = a үшін \pi n қосылады. Косинус үшін \pi n алса (a \neq 0), артық шешім шығады, тангенс үшін 2\pi n алса, түбірлердің жартысы жоғалады.
Синус пен косинустың мәні тек -1 мен 1 аралығында екенін ескермей, \sin x = 2 немесе \cos x = -1{,}5 теңдеуін шешуге кіріседі, ал олардың түбірі жоқ.
Екі квадрат түбірдің қосындысын квадраттағанда түбір астындағы өрнектерді ғана қосады. Дұрысы: (\sqrt{x + 5} + \sqrt{x})^2 = 2x + 5 + 2\sqrt{x(x + 5)}, жай ғана 2x + 5 емес. Алдымен квадрат түбірдің бірін жеке қалдырған ыңғайлы.

Тақырып бойынша сұрақтар

Тригонометриялық теңдеудің кесіндідегі түбірлері қалай іріктеледі?: Түбірлердің жалпы формуласын жазып, n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots мәндерін қояды да, кесіндіге (ұштарын қоса) түсетіндерін ғана қалдырады. Мысалы, \cos x = 0 теңдеуінің [0;\, 2\pi] кесіндісіндегі түбірлері — x = \frac{\pi}{2} және x = \frac{3\pi}{2}. Түбірлерді бірлік шеңбер арқылы да іріктеуге болады.
Иррационал теңдеудің түбірлерін міндетті түрде тексеру керек пе?: Екі жағы квадратталса, иә: \sqrt{f} = g мен \sqrt{f} = -g теңдеулері квадраттағаннан кейін бірдей f = g^2 түріне келеді, сондықтан бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. Тексеру үшін түбірді бастапқы теңдеуге қояды немесе g(x) \ge 0 шартын қарайды. Мысалы, \sqrt{2x + 3} = x теңдеуін квадраттағаннан кейін 3 және -1 түбірлері шығады, бірақ тек 3 жарайды.

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.