ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер

Бұл теңдеулер — алгебраның негізі: қозғалыс пен жұмысқа арналған мәтінді есептер, иррационал теңдеулер және басқа да көптеген теңдеулер соларға келтіріледі.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 02 Теңдеулер

ҰТО спецификациясының тармағы: 05 Сызықтық теңдеулер. Квадрат теңдеулер. Бөлшек-рационал теңдеулер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 3 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Сызықтық теңдеуді шешу және оның түбірі жоқ не шексіз көп болатын жағдайын ажырату.
  • Квадрат теңдеуді дискриминант пен Виет теоремасы арқылы шешу.
  • Бөлшек-рационал теңдеуді ММЖ-ны ескеріп шешу, қажет болса жаңа айнымалы енгізу.
  • Мәтінді есептің шарты бойынша теңдеу құрып, мағынасына сай түбірді таңдау.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Сызықтық теңдеу. ax = b: a \neq 0 болса, түбірі x = \frac{b}{a}; a = 0, b \neq 0 болса, түбірі жоқ; a = b = 0 болса, кез келген x түбір болады.
  • Дискриминант. ax^2 + bx + c = 0 үшін D = b^2 - 4ac, x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. D > 0 болса — екі түбір, D = 0 болса — бір түбір, D < 0 болса — нақты түбір жоқ.
  • Виет теоремасы. x^2 + px + q = 0 теңдеуінің түбірлері бар болса, x_1 + x_2 = -p, x_1 x_2 = q.
  • Толымсыз теңдеулер. ax^2 + bx = 0: x-ті жақша сыртына шығарамыз, сонда x = 0 немесе x = -\frac{b}{a}. ax^2 + c = 0: x^2 = -\frac{c}{a}, теңдеудің түбірлері -\frac{c}{a} \ge 0 болғанда ғана болады.
  • ММЖ. Бөлімдер нөлге тең болмауы керек. Ортақ бөлімге көбейтіп шешеміз де, бөлімді нөлге айналдыратын түбірлерді алып тастаймыз.
  • Жаңа айнымалы. Қайталанатын өрнекті t деп белгілейді: t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} теңдеуі 2t^2 - 5t + 2 = 0 түріне келеді. Соңында x-ке қайта оралады.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2} теңдеуінің неше әртүрлі түбірі бар?
  • A)2
  • B)4
  • C)1
  • D)0
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

t = \frac{x^2 + 1}{x} алмастыруы: t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}, 2t^2 - 5t + 2 = 0, t = 2 немесе t = \frac{1}{2}. \frac{x^2 + 1}{x} = 2 теңдеуінен (x - 1)^2 = 0, x = 1. \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} теңдеуінен 2x^2 - x + 2 = 0, D = -15 < 0, түбірі жоқ. Барлығы бір түбір. 2 — x үшін емес, t үшін түбірлер саналған. 4 — дискриминанттар тексерілмей, әр t екі x береді деп есептелген. 0 — теріс дискриминантты көріп, қорытынды бүкіл теңдеуге таратылған.

Жиі кететін қателер

  • ММЖ тексерілмей, бөлімді нөлге айналдыратын түбір жауапта қалып қояды. Табылған әр түбірді бөлімдерге қойып көр.
  • Түбірлер формуласында b алдындағы минусты жоғалтады немесе 2a-ға бөлуді ұмытады. Формуланы толық жаз: x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
  • Жаңа айнымалы енгізгеннен кейін жауапты x үшін емес, t үшін береді. Әр t мәні жеке теңдеу береді, оның түбірі болмауы да мүмкін.
  • Екі жағын x бар өрнекке бөліп, түбірді жоғалтады: x^2 = 3x теңдеуінен тек x = 3 алынады. Дұрысы — бәрін бір жаққа жинау: x(x - 3) = 0.

Тақырып бойынша сұрақтар

Бөлшек-рационал теңдеуде бөгде түбірлер неге пайда болады?
Екі жағын ортақ бөлімге көбейткенде бөлшексіз теңдеу шығады, бірақ ол бөлім нөлге тең болатын нүктелерде де анықталған. Сондықтан оның түбірлерінің арасында бастапқы теңдеудің ММЖ-сына кірмейтін сандар болуы мүмкін. Шешіп болған соң оларды міндетті түрде алып тастайды.
Виет теоремасын қашан қолданған ыңғайлы?
Түбірлері бүтін сан болып, оңай табылатын кезде немесе тек түбірлердің қосындысы не көбейтіндісі керек болғанда. x^2 - 5x + 6 = 0 үшін қосындысы 5, көбейтіндісі 6 болатын сандарды іздейміз: олар 2 және 3. Бас коэффициент 1-ге тең болмаса, қосынды -\frac{b}{a}, көбейтінді \frac{c}{a} болады. Алдымен D \ge 0 екенін тексер.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.