ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Алгебралық өрнектерді түрлендіру

Өрнекті тепе-тең түрлендіру алгебраның кез келген есебінде дерлік қажет: алдымен өрнекті ықшамдап алсаң, сан қою да, теңдеу шешу де жеңілдейді.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 01 Сандар

ҰТО спецификациясының тармағы: 04 Алгебралық өрнектер және түрлендірулер. Формулалар. Қысқаша көбейту формулалары. Бөлшектің дәрежесі. Көпмүшені жіктеу. Алгебралық өрнектерді ықшамдау

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Қысқаша көбейту формулаларын екі бағытта да қолдану: жақшаны ашу және өрнекті қосындының (айырымның) квадраты не көбейтінді түрінде жазу.
  • Бөлшекті дәрежеге шығару және алгебралық бөлшектерге амалдар орындау.
  • Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару, топтау, формулалар.
  • Өрнекті ықшамдап, айнымалылардың көрсетілген мәндеріндегі мәнін табу.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Қосынды мен айырымның квадраты. (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. Ортаңғы мүше — екі еселенген көбейтінді.
  • Квадраттар айырымы. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
  • Кубқа арналған формулалар. (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3; a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2).
  • Бөлшектің дәрежесі. \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0. Жұп дәрежеде минус жоғалады: \left(-\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}.
  • Көбейткіштерге жіктеу. Алдымен ортақ көбейткіш жақша сыртына шығарылады, сосын формула не топтау қолданылады: ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
  • Квадрат үшмүше. ax^2 + bx + c үшмүшесінің түбірлері x_1, x_2 болса, ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).
  • Бөлшектерге амалдар. Тек ортақ көбейткіштер қысқарады. Бөлуді бөлгішке кері бөлшекке көбейтумен алмастырады: \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\frac{x^2 - y^2}{xy} : \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right) өрнегін ықшамдап, x = 2{,}37 және y = 1{,}63 болғандағы мәнін табыңыз.
  • A)0{,}74
  • B)-4
  • C)4
  • D)0{,}25
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Бөлгішті ортақ бөлімге келтіреміз: \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}. Бөлуді кері бөлшекке көбейтумен алмастырып, алымын квадраттар айырмасы бойынша жіктейміз: \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x - y} = x + y. x = 2{,}37 және y = 1{,}63 болғанда 2{,}37 + 1{,}63 = 4. Қате нұсқалар: -4 — таңбада қате: \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{y - x}{xy} деп жазғанда шығады; 0{,}74 — x^2 - y^2 өрнегін (x - y)^2 деп алып, x - y = 0{,}74 алғанда шығады; 0{,}25 — бөлгенде екінші бөлшектің орнына бірінші бөлшекті төңкеріп, \frac{1}{x + y} = 0{,}25 алғанда шығады.
a = 13 және b = 5 болғанда (2a-b)^2 - 4a(a-b) өрнегінің мәнін табыңыз.
  • A)155
  • B)25
  • C)235
  • D)-495
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: B

Айырымның квадраты: (2a-b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2; 4a(a-b) = 4a^2 - 4ab. Айырмасы: 4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab = b^2 — мән a айнымалысына тәуелді емес: b^2 = 5^2 = 25. 155 жауабы — квадраттың ортаңғы мүшесі 2ab деп алынған: (2a-b)^2 = 4a^2 - 2ab + b^2, онда 2ab + b^2 = 2 \cdot 13 \cdot 5 + 25 = 130 + 25 = 155 шығады. 235 жауабы — айырымның квадраты 4a^2 - b^2 деп алынған: 4ab - b^2 = 4 \cdot 13 \cdot 5 - 25 = 260 - 25 = 235. -495 жауабы — -4a(a-b) өрнегін -4a^2 - 4ab деп ашқандағы таңба қатесі: b^2 - 8ab = 25 - 8 \cdot 13 \cdot 5 = 25 - 520 = -495.

Жиі кететін қателер

  • (a - b)^2 өрнегін a^2 - b^2 деп жазады: ортаңғы -2ab мүшесін жоғалтып, b^2 алдына минус қояды. Дұрысы: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Тексер: (3 - 1)^2 = 4, ал 3^2 - 1^2 = 8.
  • Жақша алдындағы минус әр қосылғыштың таңбасын өзгертетінін ұмытады: -4a(a - b) = -4a^2 + 4ab болады, -4a^2 - 4ab емес.
  • Қосылғыштарды қысқартады: \frac{a + b}{a} өрнегі жалпы жағдайда b-ға тең емес — a = 1, b = 2 болғанда 3 шығады, 2 емес. Алдымен алым мен бөлімді көбейткіштерге жіктеп, сосын қысқарт.
  • Бөлшектерді бөлгенде бөлінгішті төңкеріп қояды. Тек екінші бөлшек, яғни бөлгіш қана төңкеріледі.

Тақырып бойынша сұрақтар

Сандарды бірден қоюға болса, өрнекті неге ықшамдау керек?
x = 2{,}37 және y = 1{,}63 сияқты ыңғайсыз сандарды бірден қойсаң, есептеу ұзаққа созылып, қате кетуі оңай. Ықшамдағаннан кейін өрнек көбіне қысқа түрге келеді: мысалы, \frac{x^2 - y^2}{xy} : \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right) = x + y (x \neq y, xy \neq 0), сондықтан осы мәндерде жауап 4 ауызша шығады.
Кубтар қосындысы мен айырымы көбейткіштерге қалай жіктеледі?
a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) формуласы қолданылады: бірінші жақшадағы таңба бастапқы өрнектегідей, ал екінші жақшада ab алдындағы таңба қарама-қарсы. Мысалы, x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Екінші жақша — толымсыз квадрат, оны нақты коэффициентті көбейткіштерге одан әрі жіктеу мүмкін емес.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.