Тригонометриялық формулалар

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Не істей білу керек

• Бір тригонометриялық функцияның мәні мен бұрыштың ширегі бойынша қалған функцияларды табу.
• Қосу, қос бұрыш және дәреже төмендету формулаларын өрнекті ықшамдауға және есептеуге қолдану.
• Синус пен косинусы бар өрнектердің ең үлкен және ең кіші мәндерін табу.

Ең бастысы туралы қысқаша

• Негізгі тепе-теңдік. \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (\cos\alpha\ne 0). \sin\alpha арқылы \cos\alpha-ны тапқанда түбірдің таңбасын бұрыштың ширегі анықтайды.
• Ширектердегі таңбалар. \sin\alpha I және II ширектерде оң, \cos\alpha I және IV ширектерде оң. Сүйір бұрыштың барлық тригонометриялық функциялары оң.
• Қосу формулалары. \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
• Қос бұрыш. \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
• Дәреже төмендету. \sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}, \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}.
• Мәндерді бағалау. -1\le\sin x\le 1, -1\le\cos x\le 1. p\sin x+q\cos x өрнегі -\sqrt{p^2+q^2}-тен \sqrt{p^2+q^2}-ге дейінгі барлық мәндерді қабылдайды.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Жиі кететін қателер

• \sin\alpha арқылы \cos\alpha тапқанда түбірді әрдайым плюспен алады. Алдымен бұрыштың ширегін анықта: мысалы, II ширекте косинус теріс.
• Қосындының косинусы формуласындағы таңбаны шатастырады. Есте сақта: \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta — косинуста формуладағы таңба жақшадағы таңбаға қарама-қарсы.
• 12\sin x-16\cos x өрнегінің ең кіші мәнін -12 мен -16-ны қосып табады. Қосылғыштар ең кіші мәндеріне x-тің бір мәнінде жетпейді; ең кіші мәні -\sqrt{12^2+16^2}=-20.
• Санды функция белгісінің сыртына шығарып, \sin 2\alpha=2\sin\alpha деп жазады. Бұлай істеуге болмайды: \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha формуласын қолдан.

Тақырып бойынша сұрақтар

a\sin x+b\cos x өрнегінің ең үлкен және ең кіші мәнін қалай табады?

Мұндай өрнекті \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) түрінде жазуға болады, ал синус -1-ден 1-ге дейін өзгереді. Сондықтан ең үлкен мәні \sqrt{a^2+b^2}, ең кіші мәні -\sqrt{a^2+b^2}. Мысалы, 3\sin x+4\cos x үшін олар 5 және -5.

Синусы белгілі бұрыштың косинусын қалай табады?

Негізгі тепе-теңдіктен \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha, сондықтан \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. Таңбаны ширек анықтайды: сүйір бұрышта плюс, II ширектегі бұрышта минус. Мысалы, \sin\alpha=\frac{3}{5} және бұрыш сүйір болса, \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.