Тригонометрические формулы

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Что нужно уметь

• Находить значения тригонометрических функций по одной известной функции и четверти угла.
• Применять формулы сложения, двойного угла и понижения степени для упрощения и вычисления выражений.
• Находить наибольшее и наименьшее значения выражений с синусом и косинусом.

Кратко о главном

• Основное тождество. \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (\cos\alpha\ne 0). Знак корня при поиске \cos\alpha по \sin\alpha определяется четвертью угла.
• Знаки по четвертям. \sin\alpha>0 в I и II четвертях, \cos\alpha>0 в I и IV. У острого угла все функции положительны.
• Формулы сложения. \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
• Двойной угол. \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
• Понижение степени. \sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}, \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}.
• Оценка значений. -1\le\sin x\le 1, -1\le\cos x\le 1. Выражение p\sin x+q\cos x принимает все значения от -\sqrt{p^2+q^2} до \sqrt{p^2+q^2}.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Типичные ошибки

• Находя \cos\alpha по \sin\alpha, всегда берут корень с плюсом. Сначала определи четверть угла: например, во II четверти косинус отрицателен.
• Путают знаки в формуле косинуса суммы. Запомни: \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta — у косинуса знак в формуле противоположен знаку в скобке.
• Ищут наименьшее значение 12\sin x-16\cos x, складывая -12 и -16. Слагаемые не достигают минимума при одном и том же x; наименьшее значение равно -\sqrt{12^2+16^2}=-20.
• Пишут \sin 2\alpha=2\sin\alpha, вынося число из-под знака функции. Так делать нельзя: пользуйся формулой \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.

Вопросы по теме

Как найти наибольшее и наименьшее значение выражения a\sin x+b\cos x?

Такое выражение можно записать в виде \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi), а синус меняется от -1 до 1. Поэтому наибольшее значение равно \sqrt{a^2+b^2}, а наименьшее -\sqrt{a^2+b^2}. Например, для 3\sin x+4\cos x это 5 и -5.

Как найти косинус угла, если известен его синус?

Из основного тождества \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha, поэтому \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. Знак выбирают по четверти: для острого угла плюс, для угла II четверти минус. Например, если \sin\alpha=\frac{3}{5} и угол острый, то \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.