ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Степени и их свойства

Степени нужны для вычислений, упрощения выражений и решения показательных уравнений. Почти все задачи сводятся к нескольким свойствам и выбору общего основания.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 01 Числа

Пункт спецификации НЦТ: 02 Действия со степенями

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Применять свойства степеней с целым и рациональным показателем при вычислениях и упрощении выражений.
  • Вычислять степени с отрицательным и дробным показателем и сравнивать полученные числа.
  • Приводить степени к одному основанию и выносить общую степень за скобки.

Кратко о главном

  • Основные свойства. При a>0, b>0 (для целых показателей — при a\ne 0, b\ne 0): a^m\cdot a^n=a^{m+n}, a^m:a^n=a^{m-n}, (a^m)^n=a^{mn}, (ab)^n=a^n b^n, \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.
  • Нулевой и отрицательный показатель. При a\ne 0: a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}. Дробь в отрицательной степени переворачивают: \left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}.
  • Дробный показатель. При a>0: a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m. Удобнее сначала извлечь корень: 64^{\frac{2}{3}}=4^2=16.
  • Одно основание. Числа записывают как степени одного основания: 8=2^3, 0{,}5=2^{-1} (основание 2); \frac{1}{27}=3^{-3} (основание 3).
  • Вынесение за скобки. Выносят степень с наименьшим показателем: 2^{x}+2^{x-2}=2^{x-2}(4+1), 3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n.
  • Равенство степеней. При a>0, a\ne 1 из a^{f}=a^{g} следует f=g.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Даны числа \left(\frac{5}{2}\right)^{-2}, 0{,}027^{\frac{1}{3}}, 32^{-\frac{3}{5}} и 64^{\frac{2}{3}}. Найдите произведение наибольшего и наименьшего из них.
  • A)2{,}56
  • B)2
  • C)64
  • D)0{,}5
Ответ и разбор

Верный ответ: B

Вычислим каждое число: \left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}=0{,}16; 0{,}027^{\frac{1}{3}}=0{,}3, так как 0{,}3^{3}=0{,}027; 32^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{3}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0{,}125; 64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64})^{2}=4^{2}=16. Порядок: 0{,}125<0{,}16<0{,}3<16. Наименьшее \frac{1}{8}, наибольшее 16, произведение 16\cdot\frac{1}{8}=2. Вариант A (2{,}56): наименьшим сочли 0{,}16 (не сравнили \frac{1}{8} и \frac{4}{25} или потеряли минус в показателе у 32): 16\cdot 0{,}16=2{,}56. Вариант C (64): 64^{\frac{2}{3}} посчитали как (\sqrt{64})^{3}=512, тогда 512\cdot\frac{1}{8}=64. Вариант D (0{,}5): забыли возвести в квадрат, 64^{\frac{2}{3}} приняли за 4: 4\cdot\frac{1}{8}=0{,}5.
Решите уравнение: 8^{\frac{x}{3}}+0{,}5^{2-x}=20
  • A)2
  • B)8
  • C)16
  • D)4
Ответ и разбор

Верный ответ: D

Приводим обе степени к основанию 2: 8^{\frac{x}{3}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{x}{3}}=2^{x}, 0{,}5^{2-x}=\left(2^{-1}\right)^{2-x}=2^{x-2}=\frac{2^{x}}{4}. Уравнение принимает вид 2^{x}+\frac{2^{x}}{4}=20. Выносим 2^{x} за скобки: 2^{x}\cdot\frac{5}{4}=20, 2^{x}=16=2^{4}, x=4. Вариант A (2): 0{,}5^{2} приняли за 4, то есть записали 0{,}5^{2-x}=4\cdot 2^{x}. Тогда 5\cdot 2^{x}=20, 2^{x}=4, x=2. Вариант B (8): из 2^{x}=16 получили 2x=16, перепутав степень с произведением, отсюда x=8. Вариант C (16): в ответ записали значение 2^{x}=16, а не x.

Типичные ошибки

  • Перемножают показатели при умножении степеней: 2^3\cdot 2^4=2^{12}. Верно 2^7: при умножении показатели складывают, а перемножают их при возведении степени в степень.
  • Думают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число: 2^{-3}=-8. На самом деле 2^{-3}=\frac{1}{8}: минус в показателе означает обратное число.
  • Складывают одинаковые степени как при умножении: 2^x+2^x=2^{2x}. Верно 2^x+2^x=2\cdot 2^x=2^{x+1}.
  • Путают -2^4 и (-2)^4: первое равно -16, второе 16. Без скобок в степень возводится только число, а минус остаётся перед ним.

Вопросы по теме

Как вычислить степень с дробным показателем, например 64^{\frac{2}{3}}?
Знаменатель показателя — степень корня, числитель — степень, в которую возводят результат: 64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16. Если показатель ещё и отрицательный, берут обратное число: 32^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^3}=\frac{1}{8}. Корень удобнее извлекать первым — числа остаются небольшими.
Как решать уравнение, если основания степеней разные?
Ищут общее основание и записывают каждое число как его степень. Например, 9^x=\frac{1}{27}: 9=3^2, \frac{1}{27}=3^{-3}, поэтому 3^{2x}=3^{-3}, 2x=-3, x=-1{,}5. Если слагаемых несколько, после приведения к одному основанию общую степень выносят за скобки или вводят замену t=a^x, где t>0.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.