ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Дәрежелер және олардың қасиеттері

Дәрежелер есептеуде, өрнекті ықшамдауда және көрсеткіштік теңдеулерді шешуде керек. Есептердің көбі бірнеше қасиетке және ортақ негізді таңдауға келіп тіреледі.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 01 Сандар

ҰТО спецификациясының тармағы: 02 Дәрежелерге амалдар қолдану

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1–2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Бүтін және рационал көрсеткішті дәреженің қасиеттерін есептеуде және өрнекті ықшамдауда қолдану.
  • Теріс және бөлшек көрсеткішті дәрежені есептеп, шыққан сандарды салыстыру.
  • Дәрежелерді бір негізге келтіру және ортақ дәрежені жақша сыртына шығару.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Негізгі қасиеттер. a>0, b>0 болса (бүтін көрсеткіште — a\ne 0, b\ne 0): a^m\cdot a^n=a^{m+n}, a^m:a^n=a^{m-n}, (a^m)^n=a^{mn}, (ab)^n=a^n b^n, \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.
  • Нөлдік және теріс көрсеткіш. a\ne 0 болса, a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}. Теріс дәрежедегі бөлшек төңкеріледі: \left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}.
  • Бөлшек көрсеткіш. a>0 болса, a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m. Алдымен түбір алған ыңғайлы: 64^{\frac{2}{3}}=4^2=16.
  • Бір негізге келтіру. Сандарды бір негіздің дәрежесі түрінде жазамыз: 8=2^3, 0{,}5=2^{-1} (негізі 2); \frac{1}{27}=3^{-3} (негізі 3).
  • Жақша сыртына шығару. Көрсеткіші ең кіші дәрежені жақша сыртына шығарамыз: 2^{x}+2^{x-2}=2^{x-2}(4+1), 3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n.
  • Дәрежелердің теңдігі. a>0, a\ne 1 болғанда a^{f}=a^{g} теңдігінен f=g шығады.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}, 0{,}027^{\frac{1}{3}}, 32^{-\frac{3}{5}} және 64^{\frac{2}{3}} сандары берілген. Олардың ең үлкені мен ең кішісінің көбейтіндісін табыңыз.
  • A)2{,}56
  • B)2
  • C)64
  • D)0{,}5
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: B

Әр санды есептейміз: \left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}=0{,}16; 0{,}3^{3}=0{,}027 болғандықтан, 0{,}027^{\frac{1}{3}}=0{,}3; 32^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{3}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0{,}125; 64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64})^{2}=4^{2}=16. Реті: 0{,}125<0{,}16<0{,}3<16. Ең кішісі \frac{1}{8}, ең үлкені 16, көбейтіндісі 16\cdot\frac{1}{8}=2. A нұсқасы (2{,}56): ең кішісі 0{,}16 деп алынған (\frac{1}{8} мен \frac{4}{25} салыстырылмаған немесе 32-нің көрсеткішіндегі минус жоғалған): 16\cdot 0{,}16=2{,}56. C нұсқасы (64): 64^{\frac{2}{3}} мәні (\sqrt{64})^{3}=512 деп есептелген, сонда 512\cdot\frac{1}{8}=64. D нұсқасы (0{,}5): квадратқа шығару ұмытылып, 64^{\frac{2}{3}} орнына 4 алынған: 4\cdot\frac{1}{8}=0{,}5.
Теңдеуді шешіңіз: 8^{\frac{x}{3}}+0{,}5^{2-x}=20
  • A)2
  • B)8
  • C)16
  • D)4
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: D

Екі дәрежені де 2 негізіне келтіреміз: 8^{\frac{x}{3}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{x}{3}}=2^{x}, 0{,}5^{2-x}=\left(2^{-1}\right)^{2-x}=2^{x-2}=\frac{2^{x}}{4}. Теңдеу 2^{x}+\frac{2^{x}}{4}=20 түріне келеді. 2^{x} көбейткішін жақша сыртына шығарамыз: 2^{x}\cdot\frac{5}{4}=20, 2^{x}=16=2^{4}, x=4. A нұсқасы (2): 0{,}5^{2} мәні 4 деп алынған, яғни 0{,}5^{2-x}=4\cdot 2^{x} деп жазылған. Сонда 5\cdot 2^{x}=20, 2^{x}=4, x=2. B нұсқасы (8): 2^{x}=16 теңдігінен дәреже көбейтіндімен шатастырылып, 2x=16 алынған, сондықтан x=8. C нұсқасы (16): жауапқа x емес, 2^{x}=16 мәні жазылған.

Жиі кететін қателер

  • Дәрежелерді көбейткенде көрсеткіштерді көбейтеді: 2^3\cdot 2^4=2^{12}. Дұрысы 2^7: көбейткенде көрсеткіштер қосылады, ал дәрежені дәрежеге шығарғанда көбейтіледі.
  • Теріс көрсеткіш теріс сан береді деп ойлайды: 2^{-3}=-8. Шын мәнінде 2^{-3}=\frac{1}{8}: көрсеткіштегі минус кері санды білдіреді.
  • Бірдей дәрежелерді көбейткендей қосады: 2^x+2^x=2^{2x}. Дұрысы: 2^x+2^x=2\cdot 2^x=2^{x+1}.
  • -2^4 және (-2)^4 өрнектерін шатастырады: біріншісі -16, екіншісі 16. Жақша болмаса, дәрежеге тек сан шығарылады, ал минус оның алдында қалады.

Тақырып бойынша сұрақтар

64^{\frac{2}{3}} сияқты бөлшек көрсеткішті дәрежені қалай есептейді?
Көрсеткіштің бөлімі түбірдің дәрежесін, алымы нәтижені қандай дәрежеге шығаратынын көрсетеді: 64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16. Көрсеткіш теріс болса, кері сан алынады: 32^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^3}=\frac{1}{8}. Түбірді бірінші алған ыңғайлы — сандар үлкейіп кетпейді.
Дәрежелердің негіздері әртүрлі болса, теңдеуді қалай шешеді?
Ортақ негіз іздеп, әр санды соның дәрежесі түрінде жазады. Мысалы, 9^x=\frac{1}{27}: 9=3^2, \frac{1}{27}=3^{-3}, сондықтан 3^{2x}=3^{-3}, 2x=-3, x=-1{,}5. Қосылғыштар бірнешеу болса, бір негізге келтірген соң ортақ дәрежені жақша сыртына шығарады немесе t=a^x алмастыруын енгізеді, мұнда t>0.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.