ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Түбірлер, бүтін және бөлшек өрнектер

Түбірлер мен бөлшек өрнектер алгебраның көптеген есептерінде кездеседі: оларды ықшамдап, қысқартып, айнымалының берілген мәнінде есептей білу керек.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 01 Сандар

ҰТО спецификациясының тармағы: 01 Түбірлерге амалдар қолдану. Санды және әріпті өрнектер. Бүтін және бөлшек өрнектер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Түбір қасиеттерін қолдану: көбейткішті түбір алдына шығару, толық квадраттан түбір алу, бөлімдегі иррационалдықтан арылу.
  • Санды және әріпті, бүтін және бөлшек өрнектерді ажырату, айнымалылардың берілген мәндерінде өрнектің мәнін табу.
  • Бөлшек өрнекті ықшамдау: көбейткіштерге жіктеу, ортақ бөлімге келтіру, қысқарту.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Арифметикалық түбір. \sqrt{a} — квадраты a-ға тең теріс емес сан, ол тек a\ge 0 болғанда анықталады. Басты ереже: \sqrt{a^2}=|a|.
  • Түбір қасиеттері. a\ge 0, b\ge 0 болса, \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}; a\ge 0, b>0 болса, \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. Көбейткішті түбір белгісінің алдына шығару: \sqrt{18}=3\sqrt{2}.
  • Түбір астындағы толық квадрат. a\ge 0, b\ge 0 болғанда a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2, сондықтан одан алынған түбір |\sqrt{a}-\sqrt{b}|-ға тең. Мысалы, 20-6\sqrt{11}=(\sqrt{11}-3)^2.
  • Түйіндес көбейткіш. Бөлімдегі иррационалдықтан арылу үшін алым мен бөлімді бөлімге түйіндес өрнекке көбейтеміз: \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} (a,b\ge 0, a\ne b).
  • Бүтін және бөлшек өрнек. Бүтін өрнекте айнымалысы бар өрнекке бөлу жоқ, бөлшек өрнекте бар. Бөлшек өрнектің мағынасы болуы үшін оның бөлімі нөлге тең болмауы керек.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

x=289 болғанда \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{6\sqrt{x}}{x-9}\right):\frac{\sqrt{x}}{x-9} өрнегінің мәнін табыңыз.
  • A)20
  • B)14
  • C)26
  • D)8
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: B

Бөлімді көбейткіштерге жіктейміз: x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3). Жақшаны ортақ бөлімге келтіреміз: \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-6\sqrt{x}}{x-9}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}. Бөлеміз, яғни кері бөлшекке көбейтеміз: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\cdot\frac{x-9}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3. x=289 болғанда \sqrt{x}=17, демек, мәні 17-3=14. Қате нұсқалар: 20 — азайтқыш бөлшек \frac{6\sqrt{x}}{x-9} жоғалған: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\cdot\frac{x-9}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+3=20; 26 — азайту кезінде таңба жоғалған: \sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+6\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}+9), нәтижесінде \sqrt{x}+9=26 шыққан; 8 — бірінші бөлшектің алымы \sqrt{x}+3 орнына \sqrt{x}-3-ке көбейтілген: \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)-6\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-9), нәтижесінде \sqrt{x}-9=8 шыққан.

Жиі кететін қателер

  • \sqrt{a^2}=a деп жазып, түбірдің мәні ретінде 3-\sqrt{11} сияқты теріс сан алады. Түбір теріс болмайды: сандарды салыстырып, модульді нәтиже нөлден кем болмайтындай аш.
  • \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} деп ойлайды. Бұл қате: \sqrt{9+16}=5, ал \sqrt{9}+\sqrt{16}=7. Тек теріс емес сандардың көбейтіндісі мен бөліндісінің түбірін жеке түбірлерге жіктеп жазуға болады.
  • Бөлшектерді азайтқанда таңбаны жоғалтады: бөлшек алдындағы минус оның бүкіл алымына әсер етеді, сондықтан минустан кейінгі алымды жақшаға алу керек.
  • Көбейткішті емес, қосылғышты қысқартады: \frac{x+3}{x} өрнегінде қысқаратын ештеңе жоқ. Алым мен бөлімнің ортақ көбейткіші ғана қысқарады.

Тақырып бойынша сұрақтар

20-6\sqrt{11} сияқты өрнектен түбірді қалай алады?
Түбір астынан айырымның толық квадратын көру керек. Екі еселенген көбейтінді: 6\sqrt{11}=2\cdot 3\cdot\sqrt{11}, ал квадраттардың қосындысы 11+9=20, демек 20-6\sqrt{11}=(\sqrt{11}-3)^2. Онда түбір |\sqrt{11}-3|=\sqrt{11}-3-ке тең, өйткені \sqrt{11}>3. Модуль нәтиже теріс болмайтындай ашылады.
Бөлімдегі иррационалдықтан қалай арылады?
Бөлімде бір ғана квадрат түбір болса, алым мен бөлімді сол түбірге көбейтеміз: \frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}. Бөлім \sqrt{a}-b түрінде болса, түйіндес \sqrt{a}+b өрнегіне көбейтеміз: квадраттар айырымы формуласы бойынша бөлімдегі түбір жойылады. Мысалы, \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.