ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Корни, целые и дробные выражения

Корни и дробные выражения встречаются во многих задачах по алгебре: их нужно упрощать, сокращать и вычислять при заданном значении переменной.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 01 Числа

Пункт спецификации НЦТ: 01 Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения

По нашей оценке, в варианте в среднем 2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Применять свойства корней: выносить множитель, извлекать корень из полного квадрата, избавляться от иррациональности в знаменателе.
  • Различать числовые и буквенные, целые и дробные выражения, находить значение выражения при заданных значениях переменных.
  • Упрощать дробные выражения: раскладывать на множители, приводить к общему знаменателю, сокращать.

Кратко о главном

  • Арифметический корень. \sqrt{a} — неотрицательное число, квадрат которого равен a; определён при a\ge 0. Главное правило: \sqrt{a^2}=|a|.
  • Свойства корня. При a\ge 0, b\ge 0: \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}; при a\ge 0, b>0: \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. Вынесение множителя: \sqrt{18}=3\sqrt{2}.
  • Полный квадрат под корнем. При a\ge 0, b\ge 0: a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2, поэтому корень из него равен |\sqrt{a}-\sqrt{b}|. Пример: 20-6\sqrt{11}=(\sqrt{11}-3)^2.
  • Сопряжённый множитель. Числитель и знаменатель домножают на выражение, сопряжённое знаменателю: \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} (a,b\ge 0, a\ne b).
  • Целое и дробное выражение. В целом выражении нет деления на выражение с переменной, в дробном — есть. Дробное выражение имеет смысл, только когда знаменатель не равен нулю.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Найдите значение выражения \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{6\sqrt{x}}{x-9}\right):\frac{\sqrt{x}}{x-9} при x=289.
  • A)20
  • B)14
  • C)26
  • D)8
Ответ и разбор

Верный ответ: B

Раскладываем знаменатель: x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3). Приводим скобку к общему знаменателю: \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-6\sqrt{x}}{x-9}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}. Делим, то есть умножаем на обратную дробь: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\cdot\frac{x-9}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3. При x=289 имеем \sqrt{x}=17, значит, значение равно 17-3=14. Неверные варианты: 20 — потеряли вычитаемую дробь \frac{6\sqrt{x}}{x-9}: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\cdot\frac{x-9}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+3=20; 26 — при вычитании потеряли знак: \sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+6\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}+9), и в итоге получили \sqrt{x}+9=26; 8 — числитель первой дроби домножили на \sqrt{x}-3 вместо \sqrt{x}+3: \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)-6\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-9), и в итоге получили \sqrt{x}-9=8.

Типичные ошибки

  • Пишут \sqrt{a^2}=a и получают для корня отрицательное значение, например 3-\sqrt{11}. Корень неотрицателен: сравни числа и раскрой модуль так, чтобы результат был не меньше нуля.
  • Считают, что \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}. Это неверно: \sqrt{9+16}=5, а \sqrt{9}+\sqrt{16}=7. Корень разбивается только у произведения и частного неотрицательных чисел.
  • Теряют знак при вычитании дробей: минус перед дробью относится ко всему её числителю, поэтому числитель после минуса нужно брать в скобки.
  • Сокращают слагаемые, а не множители: в \frac{x+3}{x} сократить нечего. Сокращается только общий множитель числителя и знаменателя.

Вопросы по теме

Как извлечь корень из выражения вида 20-6\sqrt{11}?
Нужно увидеть под корнем полный квадрат разности. Удвоенное произведение: 6\sqrt{11}=2\cdot 3\cdot\sqrt{11}, а сумма квадратов 11+9=20, значит 20-6\sqrt{11}=(\sqrt{11}-3)^2. Тогда корень равен |\sqrt{11}-3|=\sqrt{11}-3, так как \sqrt{11}>3. Модуль раскрывают так, чтобы результат был неотрицательным.
Как избавиться от иррациональности в знаменателе?
Если в знаменателе один квадратный корень, числитель и знаменатель умножают на него: \frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}. Если знаменатель вида \sqrt{a}-b, умножают на сопряжённое \sqrt{a}+b: по формуле разности квадратов корень в знаменателе исчезает. Например, \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.