Зачем упрощать выражение, если можно сразу подставить числа?

Подстановка неудобных чисел вроде x = 2,37 и y = 1,63 ведёт к долгим вычислениям и ошибкам. После упрощения выражение часто сводится к короткому виду: например, (x^2 - y^2)/(xy) : left((1)/(y) - (1)/(x)right) = x + y (при x ≠ y, xy ≠ 0), и при этих значениях ответ 4 получается устно.

Как разложить на множители сумму или разность кубов?

По формуле a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 mp ab + b^2): в первой скобке тот же знак, что в исходном выражении, во второй перед ab — противоположный. Например, x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Вторая скобка — неполный квадрат, дальше на множители с действительными коэффициентами она не раскладывается.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Преобразование алгебраических выражений

Тождественные преобразования нужны почти в каждой задаче по алгебре: сначала упрости выражение, потом подставляй числа или решай уравнение.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 01 Числа

Пункт спецификации НЦТ: 04 Алгебраические выражения и их преобразования. Формулы. Формулы сокращенного умножения. Степень дроби. Разложение многочлена. Упрощение алгебраических выражений

По нашей оценке, в варианте в среднем 2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Применять формулы сокращённого умножения в обе стороны: раскрывать скобки и сворачивать сумму в квадрат или произведение.
Возводить дробь в степень и выполнять действия с алгебраическими дробями.
Раскладывать многочлен на множители: вынесение общего множителя, группировка, формулы.
Упрощать выражение и находить его значение при заданных значениях переменных.

Кратко о главном

Квадрат суммы и разности. (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. Средний член — удвоенное произведение.
Разность квадратов. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
Формулы с кубами. (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3; a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2).
Степень дроби. \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0. В чётной степени минус исчезает: \left(-\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}.
Разложение на множители. Сначала выносят общий множитель, затем применяют формулы или группировку: ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
Квадратный трёхчлен. Если x_1, x_2 — корни ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).
Действия с дробями. Сокращают только общие множители. Деление заменяют умножением на перевёрнутый делитель: \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Упростите выражение \frac{x^2 - y^2}{xy} : \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right) и найдите его значение при x = 2{,}37 и y = 1{,}63.

A)0{,}74
B)-4
C)4
D)0{,}25

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Приведём делитель к общему знаменателю: \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}. Деление заменяем умножением на обратную дробь и раскладываем числитель по разности квадратов: \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x - y} = x + y. При x = 2{,}37 и y = 1{,}63 получаем 2{,}37 + 1{,}63 = 4. Неверные варианты: -4 — ошибка в знаке: записали \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{y - x}{xy}; 0{,}74 — приняли x^2 - y^2 за (x - y)^2 и получили x - y = 0{,}74; 0{,}25 — при делении перевернули первую дробь вместо второй и получили \frac{1}{x + y} = 0{,}25.

Найдите значение выражения (2a-b)^2 - 4a(a-b) при a = 13 и b = 5.

A)155
B)25
C)235
D)-495

Ответ и разбор

Верный ответ: B

Квадрат разности: (2a-b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2; 4a(a-b) = 4a^2 - 4ab. Разность: 4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab = b^2 — значение не зависит от a: b^2 = 5^2 = 25. Ответ 155 — средний член квадрата взят как 2ab: (2a-b)^2 = 4a^2 - 2ab + b^2, тогда получается 2ab + b^2 = 2 \cdot 13 \cdot 5 + 25 = 130 + 25 = 155. Ответ 235 — квадрат разности принят за 4a^2 - b^2: 4ab - b^2 = 4 \cdot 13 \cdot 5 - 25 = 260 - 25 = 235. Ответ -495 — ошибка знака при раскрытии -4a(a-b) как -4a^2 - 4ab: b^2 - 8ab = 25 - 8 \cdot 13 \cdot 5 = 25 - 520 = -495.

Типичные ошибки

(a - b)^2 путают с a^2 - b^2: теряют средний член -2ab и ставят минус перед b^2. Верно: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Проверь: (3 - 1)^2 = 4, а 3^2 - 1^2 = 8.
Забывают, что минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: -4a(a - b) = -4a^2 + 4ab, а не -4a^2 - 4ab.
Сокращают слагаемые: \frac{a + b}{a} в общем случае не равно b — при a = 1, b = 2 выходит 3, а не 2. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители, потом сокращай.
При делении дробей переворачивают делимое вместо делителя. Переворачивается только вторая дробь — та, на которую делят.

Вопросы по теме

Зачем упрощать выражение, если можно сразу подставить числа?: Подстановка неудобных чисел вроде x = 2{,}37 и y = 1{,}63 ведёт к долгим вычислениям и ошибкам. После упрощения выражение часто сводится к короткому виду: например, \frac{x^2 - y^2}{xy} : \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right) = x + y (при x \neq y, xy \neq 0), и при этих значениях ответ 4 получается устно.
Как разложить на множители сумму или разность кубов?: По формуле a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2): в первой скобке тот же знак, что в исходном выражении, во второй перед ab — противоположный. Например, x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Вторая скобка — неполный квадрат, дальше на множители с действительными коэффициентами она не раскладывается.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.