Почему в дробно-рациональном уравнении появляются посторонние корни?

При умножении обеих частей на общий знаменатель получается уравнение без дробей, но оно определено и там, где знаменатель равен нулю. Поэтому среди его корней могут оказаться числа, не входящие в ОДЗ исходного уравнения. После решения их обязательно отбрасывают.

Когда удобно применять теорему Виета?

Когда корни целые и их легко подобрать или когда нужна только сумма или произведение корней. Для x^2 - 5x + 6 = 0 ищем числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3. Если старший коэффициент не равен 1, сумма корней равна -(b)/(a), а произведение (c)/(a). Сначала убедись, что D ≥ 0.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Линейные, квадратные и дробные уравнения

Эти уравнения — основа алгебры: к ним сводятся текстовые задачи на движение и работу, иррациональные и многие другие уравнения.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 02 Уравнения

Пункт спецификации НЦТ: 05 Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения

По нашей оценке, в варианте в среднем 3 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Решать линейные уравнения и понимать, когда корней нет или их бесконечно много.
Решать квадратные уравнения через дискриминант и теорему Виета.
Решать дробно-рациональные уравнения с учётом ОДЗ, в том числе заменой переменной.
Составлять уравнение по условию текстовой задачи и выбирать корень, подходящий по смыслу.

Кратко о главном

Линейное уравнение. ax = b: при a \neq 0 корень x = \frac{b}{a}; при a = 0, b \neq 0 корней нет; при a = b = 0 подходит любое x.
Дискриминант. Для ax^2 + bx + c = 0: D = b^2 - 4ac, x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 действительных корней нет.
Теорема Виета. Если уравнение x^2 + px + q = 0 имеет корни, то x_1 + x_2 = -p, x_1 x_2 = q.
Неполные уравнения. ax^2 + bx = 0: выносим x, получаем x = 0 или x = -\frac{b}{a}. ax^2 + c = 0: x^2 = -\frac{c}{a}, корни есть только при -\frac{c}{a} \ge 0.
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю. Умножаем на общий знаменатель, решаем и отбрасываем корни, при которых знаменатель обращается в ноль.
Замена переменной. Повторяющееся выражение обозначают t: уравнение t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} даёт 2t^2 - 5t + 2 = 0. Затем возвращаются к x.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Сколько различных корней имеет уравнение \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}?

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Замена t = \frac{x^2 + 1}{x}: t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}, 2t^2 - 5t + 2 = 0, t = 2 или t = \frac{1}{2}. Из \frac{x^2 + 1}{x} = 2 получаем (x - 1)^2 = 0, x = 1. Из \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} — 2x^2 - x + 2 = 0, D = -15 < 0, корней нет. Итого один корень. Ответ 2 — посчитали корни для t, а не для x. Ответ 4 — решили, что каждое t даёт по два x, не проверив дискриминанты. Ответ 0 — увидели отрицательный дискриминант и перенесли вывод на всё уравнение.

Типичные ошибки

Не проверяют ОДЗ, и корень, обращающий знаменатель в ноль, остаётся в ответе. Каждый найденный корень подставь в знаменатели.
В формуле корней теряют минус перед b или забывают делить на 2a. Записывай формулу целиком: x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
После замены переменной дают ответ для t, а не для x. Каждое значение t даёт своё уравнение, и у него может не оказаться корней.
Делят обе части на выражение с x и теряют корень: из x^2 = 3x получают только x = 3. Правильно — перенести всё в одну часть: x(x - 3) = 0.

Вопросы по теме

Почему в дробно-рациональном уравнении появляются посторонние корни?: При умножении обеих частей на общий знаменатель получается уравнение без дробей, но оно определено и там, где знаменатель равен нулю. Поэтому среди его корней могут оказаться числа, не входящие в ОДЗ исходного уравнения. После решения их обязательно отбрасывают.
Когда удобно применять теорему Виета?: Когда корни целые и их легко подобрать или когда нужна только сумма или произведение корней. Для x^2 - 5x + 6 = 0 ищем числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3. Если старший коэффициент не равен 1, сумма корней равна -\frac{b}{a}, а произведение \frac{c}{a}. Сначала убедись, что D \ge 0.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.