Как отобрать корни тригонометрического уравнения на отрезке?

Записывают общую формулу корней и подставляют n = 0, ± 1, ± 2, ldots, оставляя только значения, принадлежащие отрезку (включая его концы). Например, у cos x = 0 на отрезке [0; 2π] получаются x = (π)/(2) и x = (3π)/(2). Отбирать корни можно и по единичной окружности.

Обязательно ли проверять корни иррационального уравнения?

Если обе части возводили в квадрат, то да: уравнения sqrtf = g и sqrtf = -g после возведения в квадрат дают одно и то же f = g^2, поэтому могут появиться посторонние корни. Проверяют подстановкой в исходное уравнение или по условию g(x) ≥ 0. Например, sqrt2x + 3 = x после возведения в квадрат даёт корни 3 и -1, но подходит только 3.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Тригонометрические и иррациональные уравнения

Тригонометрические уравнения сводят к простейшим вида \sin x = a, а в иррациональных избавляются от корня возведением в квадрат и затем проверяют корни подстановкой в исходное уравнение.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 02 Уравнения

Пункт спецификации НЦТ: 06 Тригонометрические уравнения. Иррациональные уравнения

По нашей оценке, в варианте в среднем 2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Решать простейшие уравнения \sin x = a, \cos x = a, \mathrm{tg}\,x = a и сводить к ним более сложные.
Отбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.
Решать иррациональные уравнения возведением в квадрат и заменой переменной.
Проверять найденные корни и отбрасывать посторонние.

Кратко о главном

Синус. \sin x = a, |a| \le 1: x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}. При |a| > 1 корней нет.
Косинус. \cos x = a, |a| \le 1: x = \pm \arccos a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. При |a| > 1 корней нет.
Тангенс. \mathrm{tg}\,x = a при любом a: x = \mathrm{arctg}\,a + \pi n, n \in \mathbb{Z}.
Частные случаи. \sin x = 0: x = \pi n; \cos x = 0: x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \sin x = 1: x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \cos x = 1: x = 2\pi n.
Корень и квадрат. \sqrt{f(x)} = g(x) равносильно f(x) = g^2(x) при условии g(x) \ge 0. Без этого условия после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни.
Замена. в уравнении вида x - 5\sqrt{x} + 6 = 0 полагают t = \sqrt{x}, t \ge 0; отрицательные значения t отбрасывают.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Решите уравнение \sqrt{2x+3}=x

A)-3
B)-1
C)3
D)-1 и 3

Ответ и разбор

Верный ответ: C

После возведения в квадрат получаем 2x + 3 = x^2, то есть x^2 - 2x - 3 = 0 с корнями x = 3 и x = -1. Проверка обязательна: при x = -1 левая часть равна 1, а правая равна -1, и корень посторонний — арифметический корень не бывает отрицательным; при x = 3 обе части равны 3. Вариант D — оба корня квадратного уравнения, выписанные без проверки. Вариант B оставляет как раз посторонний корень. Вариант A получается, если возвести в квадрат только левую часть: 2x + 3 = x.

Найдите сумму корней уравнения x-5\sqrt{x}+6=0.

A)13
B)5
C)36
D)25

Ответ и разбор

Верный ответ: A

Пусть t=\sqrt{x}, t\ge 0. Тогда x=t^2 и t^2-5t+6=0, t_1=2, t_2=3 — оба неотрицательны. Значит, x_1=2^2=4, x_2=3^2=9, сумма корней 4+9=13. Неверные варианты: 5 — это сумма t_1+t_2 корней вспомогательного уравнения, а не корней x; 36 — произведение корней 4\cdot 9=36 вместо суммы; 25 — возвели в квадрат сумму: (2+3)^2=25 вместо 2^2+3^2.

Типичные ошибки

Не проверяют корни после возведения в квадрат. В \sqrt{2x + 3} = x корень -1 посторонний: арифметический корень не бывает отрицательным.
Путают период. Верно: для \cos x = a прибавляют 2\pi n, для \mathrm{tg}\,x = a — \pi n. С \pi n у косинуса (при a \neq 0) появятся лишние решения, с 2\pi n у тангенса потеряется половина корней.
Решают \sin x = 2 или \cos x = -1{,}5, не заметив, что синус и косинус принимают значения только от -1 до 1, поэтому корней нет.
Квадрат суммы двух радикалов принимают за сумму подкоренных выражений. Верно: (\sqrt{x + 5} + \sqrt{x})^2 = 2x + 5 + 2\sqrt{x(x + 5)}, а не просто 2x + 5. Удобнее сначала уединить один радикал.

Вопросы по теме

Как отобрать корни тригонометрического уравнения на отрезке?: Записывают общую формулу корней и подставляют n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, оставляя только значения, принадлежащие отрезку (включая его концы). Например, у \cos x = 0 на отрезке [0;\, 2\pi] получаются x = \frac{\pi}{2} и x = \frac{3\pi}{2}. Отбирать корни можно и по единичной окружности.
Обязательно ли проверять корни иррационального уравнения?: Если обе части возводили в квадрат, то да: уравнения \sqrt{f} = g и \sqrt{f} = -g после возведения в квадрат дают одно и то же f = g^2, поэтому могут появиться посторонние корни. Проверяют подстановкой в исходное уравнение или по условию g(x) \ge 0. Например, \sqrt{2x + 3} = x после возведения в квадрат даёт корни 3 и -1, но подходит только 3.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.