Жүйені шешуге қай тәсіл тиімді: алмастыру ма, әлде қосу ма?

Айнымалылардың бірі оңай өрнектелсе, мысалы оның коэффициенті 1 болса, алмастыру ыңғайлы. Бір айнымалының коэффициенттері тең не қарама-қарсы болса немесе көбейткен соң солай болса, қосу тәсілі тиімді. Екі тәсіл де бірдей жауап береді, есептеуі азын таңдайды.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ екенін қалай білуге болады?

x пен y коэффициенттері пропорционал болып, бос мүшелері пропорционал болмаса, түзулер параллель, олар қиылыспайды. Мысалы, x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 жүйесінде бірінші теңдеуді 2-ге көбейтсек, 2x + 4y = 6 шығады, бұл екінші теңдеуге қайшы. Демек, жүйенің шешімі жоқ.

← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі

Жүйе — ортақ шешімі ізделетін бірнеше теңдеу: шешімі — барлық теңдеуді бір мезгілде қанағаттандыратын (x; y) сандар жұбы. Қозғалыс, жұмыс және пайыз туралы мәтінді есептер көбіне жүйе арқылы шығарылады.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 03 Теңдеулер жүйесі

ҰТО спецификациясының тармағы: 08 Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі. Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесі

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1–2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

Сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру және қосу тәсілдерімен шешу
Сызықтық емес жүйелерді алмастыру, жаңа айнымалы енгізу және көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу
Мәтінді есептің шарты бойынша жүйе құрып, жауабын тексеру

Ең бастысы туралы қысқаша

Алмастыру тәсілі. Бір теңдеуден айнымалыны өрнектеп (x + y = 56 болса, y = 56 - x), екінші теңдеуге қояды: бір айнымалысы бар теңдеу қалады.
Қосу тәсілі. Бір айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болатындай теңдеулерді сандарға көбейтіп, қосады.
Шешімдер саны. a_1x + b_1y = c_1, a_2x + b_2y = c_2 жүйесі үшін (a_2, b_2, c_2 \ne 0): \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} болса, жүйенің жалғыз шешімі бар; \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} болса, шешімі жоқ; әйтпесе шешімі шексіз көп.
Симметриялы жүйе. x + y = s және xy = p болса, x пен y — t^2 - st + p = 0 теңдеуінің түбірлері. Шешімдері — (t_1; t_2) және (t_2; t_1); түбірі болмаса, шешім де жоқ.
Сызықтық емес жүйе. Мұнда x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) және x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy формулалары көмектеседі. Табылған жұптар екі теңдеуде де тексеріледі.
Өзендегі қозғалыс. Ағыс бойымен жылдамдық v + u, ағысқа қарсы v - u, мұнда v — меншікті жылдамдық, u — ағыс жылдамдығы.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Алқапта екі бригада жұмыс істейді. Бірінші бригада 3 күн, екінші бригада 4 күн жұмыс істесе, олар бірге 34 га жинайды. Бірінші 2 күн, екінші 5 күн жұмыс істесе, олар 32 га жинайды. Бірінші бригада бір күнде қанша гектар жинайды

A)4 га
B)2 га
C)6 га
D)10 га

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Бірінші бригада күніне x га, екінші бригада y га жинайды делік: 3x + 4y = 34 және 2x + 5y = 32. Бірінші теңдеуді 5-ке, екіншісін 4-ке көбейтіп шегерейік: 15x - 8x = 170 - 128, яғни 7x = 42, бұдан x = 6, сонда y = 4. A нұсқасы — екінші бригаданың күндік нормасы: сұрақ ол туралы емес. B нұсқасы — айырма x - y = 2, ол бір теңдеуден екіншісін жай шегеріп, сол жерде тоқтағанда қалады. D нұсқасы — қосынды x + y = 10: екі бригада бір күнде бірге сонша жинайды.

Жиі кететін қателер

Басқа айнымалыны табады: x сұралса да, жауапқа y жазады. Жауапты жазбас бұрын есептің сұрағын қайта оқы.
Аралық нәтижеде тоқтап қалады: 2x = 30 шығып, екіге бөлу ұмыт қалады. Шешімді ізделетін шамаға дейін жеткіз.
Теңдеуді санға көбейткенде тек сол жағын көбейтеді. Екі жағын да, бос мүшесімен қоса көбейту керек.
Сызықтық емес жүйеде шешімдерді жоғалтып алады: x^2 = 9 теңдеуінен тек x = 3 алып, x = -3 түбірін ұмытады.

Тақырып бойынша сұрақтар

Жүйені шешуге қай тәсіл тиімді: алмастыру ма, әлде қосу ма?: Айнымалылардың бірі оңай өрнектелсе, мысалы оның коэффициенті 1 болса, алмастыру ыңғайлы. Бір айнымалының коэффициенттері тең не қарама-қарсы болса немесе көбейткен соң солай болса, қосу тәсілі тиімді. Екі тәсіл де бірдей жауап береді, есептеуі азын таңдайды.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ екенін қалай білуге болады?: x пен y коэффициенттері пропорционал болып, бос мүшелері пропорционал болмаса, түзулер параллель, олар қиылыспайды. Мысалы, x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 жүйесінде бірінші теңдеуді 2-ге көбейтсек, 2x + 4y = 6 шығады, бұл екінші теңдеуге қайшы. Демек, жүйенің шешімі жоқ.

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.