Түбір мен логарифм қатысқан жүйелерде жаңа айнымалы не үшін енгізіледі?

Алмастыру күрделі жүйені кәдімгі алгебралық жүйеге айналдырады. Мысалы, sqrtx + sqrty = 4, x - y = 8 жүйесінде u = sqrtx, v = sqrty десек, u + v = 4, u^2 - v^2 = 8 шығады, бұдан u - v = 2, u = 3, v = 1. Қайта оралсақ: x = 9, y = 1. Жаңа айнымалылар өз шектеулерін сақтауы керек, мысалы u ≥ 0.

2^x · 2^y = 32, 2^x : 2^y = 2 түріндегі жүйе қалай шешіледі?

Дәреже қасиеттері бойынша 2^x+y = 2^5 және 2^x-y = 2^1, яғни x + y = 5 және x - y = 1. Қоссақ, 2x = 6, x = 3, сонда y = 2. Тексеру: 2^3 · 2^2 = 32 және 2^3 : 2^2 = 2.

← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Түбір, дәреже, логарифм, тригонометрия қатысқан жүйелер

Белгісіздер түбір астында, дәреже көрсеткішінде, логарифм астында немесе тригонометриялық функция таңбасының астында тұратын жүйелер. Әдетте жаңа айнымалы енгізіп, оларды таныс алгебралық жүйеге келтіреді.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 03 Теңдеулер жүйесі

ҰТО спецификациясының тармағы: 09 Тригонометриялық теңдеулер жүйелері. Иррационал теңдеулер жүйелері. Көрсеткіштік теңдеулер жүйелері. Логарифмдік теңдеулер жүйелері

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

Тригонометриялық және иррационал теңдеулер жүйелерін шешу
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелерін шешу
Жаңа айнымалы енгізіп, жүйені алгебралық түрге келтіру және шешімдерді мүмкін мәндер жиынына (ММЖ) қарай іріктеу

Ең бастысы туралы қысқаша

Жаңа айнымалы. Қайталанатын өрнектерді жаңа әріппен белгілейді: u = \sqrt{x}, u = 2^x, u = \log_2 x. Алгебралық жүйені шешіп, x, y айнымалыларына қайта оралады.
Түбірлер. x \ge 0, y \ge 0 болғанда x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) жіктелуі ыңғайлы. Есте сақта: \sqrt{x} \ge 0 және (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y.
Логарифмдер. \log_a x пен \log_a y өрнектерін u және v деп белгілеп, жүйені солар бойынша шешеді. Мүмкін мәндер жиыны: x > 0, y > 0.
Дәрежелер. a^x \cdot a^y = a^{x+y} және a^x : a^y = a^{x-y} қасиеттері бойынша теңдеулер a^{x+y} = a^m, a^{x-y} = a^k түріне келеді. a > 0, a \ne 1 болса, бұдан x + y = m, x - y = k шығады.
Тригонометрия. x + y = c берілсе, екінші теңдеуге y = c - x қойып, келтіру не қосу формулаларын қолданады; жауап n \in \mathbb{Z} арқылы жазылады.
Тексеру. Квадратқа шығару мен потенцирлеу бөгде шешім беруі мүмкін, сондықтан табылған жұптар бастапқы жүйеге қойылып тексеріледі.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

(x_0; y_0) — \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x - y = 15 \end{cases} жүйесінің шешімі. x_0 мәнін табыңыз.

A)16
B)4
C)20
D)1

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) болғандықтан, \sqrt{x} - \sqrt{y} = 15 : 5 = 3. Мұны бірінші теңдеумен қоссақ: 2\sqrt{x} = 5 + 3 = 8, \sqrt{x} = 4, x_0 = 4^2 = 16; онда \sqrt{y} = 5 - 4 = 1, y_0 = 1^2 = 1. Тексеру: 16 - 1 = 15. Жауабы 16 — A нұсқасы. Қателер: 4 — \sqrt{x} табылған, бірақ квадратқа шығарылмаған; 20 — бірінші теңдеу 2\sqrt{xy} қосылғышынсыз квадратқа шығарылған: теңдеулері x + y = 25, x - y = 15 болатын жүйе шығып, одан x = (25 + 15) : 2 = 20 алынған; 1 — x_0 орнына y_0 көрсетілген.

(x_0; y_0) — \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10, \\ x - y = 80 \end{cases} жүйесінің шешімі. x_0 мәнін табыңыз.

A)81
B)9
C)90
D)1

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) болғандықтан, \sqrt{x} - \sqrt{y} = 80 : 10 = 8. Мұны бірінші теңдеумен қоссақ: 2\sqrt{x} = 10 + 8 = 18, \sqrt{x} = 9, x_0 = 9^2 = 81; онда \sqrt{y} = 10 - 9 = 1, y_0 = 1^2 = 1. Тексеру: 81 - 1 = 80. Жауабы 81 — A нұсқасы. Қателер: 9 — \sqrt{x} табылған, бірақ квадратқа шығарылмаған; 90 — бірінші теңдеу 2\sqrt{xy} қосылғышынсыз квадратқа шығарылған: теңдеулері x + y = 100, x - y = 80 болатын жүйе шығып, одан x = (100 + 80) : 2 = 90 алынған; 1 — x_0 орнына y_0 көрсетілген.

Жиі кететін қателер

\sqrt{x} = 4 екенін тапқан соң жауапқа 4 деп жазып, квадратқа шығаруды ұмытады. Алмастырудан кейін бастапқы айнымалыға міндетті түрде орал.
\sqrt{x} + \sqrt{y} өрнегін квадратқа шығарғанда x + y деп алып, 2\sqrt{xy} қосылғышын жоғалтады. Қосындының квадраты квадраттардың қосындысына тең емес.
\log_2 x + \log_2 y өрнегін \log_2(x+y) деп ауыстырады. Дұрысы: \log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy).
Жаңа айнымалылардың шектеулерін ескермейді: u = \sqrt{x} теріс бола алмайды, ал u = 2^x теріс те, нөл де бола алмайды. Мұндай мәндер алынып тасталады.

Тақырып бойынша сұрақтар

Түбір мен логарифм қатысқан жүйелерде жаңа айнымалы не үшін енгізіледі?: Алмастыру күрделі жүйені кәдімгі алгебралық жүйеге айналдырады. Мысалы, \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, x - y = 8 жүйесінде u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y} десек, u + v = 4, u^2 - v^2 = 8 шығады, бұдан u - v = 2, u = 3, v = 1. Қайта оралсақ: x = 9, y = 1. Жаңа айнымалылар өз шектеулерін сақтауы керек, мысалы u \ge 0.
2^x \cdot 2^y = 32, 2^x : 2^y = 2 түріндегі жүйе қалай шешіледі?: Дәреже қасиеттері бойынша 2^{x+y} = 2^5 және 2^{x-y} = 2^1, яғни x + y = 5 және x - y = 1. Қоссақ, 2x = 6, x = 3, сонда y = 2. Тексеру: 2^3 \cdot 2^2 = 32 және 2^3 : 2^2 = 2.

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.