Неге теңсіздікті таңбасы белгісіз, айнымалысы бар өрнекке көбейтуге болмайды?

Ондай өрнектің таңбасы алдын ала белгісіз: өрнек оң болатын аралықтарда теңсіздік таңбасы сақталады, теріс болатын аралықтарда ауысады. Сондықтан рационал теңсіздікте барлық мүшені бір жағына көшіріп, (P(x))/(Q(x))>0 түріне келтіреді де, интервалдар әдісімен шешеді.

log_a f(x)>log_a g(x) теңсіздігі қалай шешіледі?

Алдымен анықталу облысын жазады: f(x)>0 және g(x)>0. Содан кейін негізге қарайды (негізі a — сан, a>0, a≠ 1): a>1 болса, f(x)>g(x) теңсіздігіне, 0 < a < 1 болса, f(x) < g(x) теңсіздігіне көшеді. Жауабы — шыққан жиын мен анықталу облысының қиылысы.

← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Теңсіздік түрлері және оларды шешу жолдары

Теңсіздіктің түрі әртүрлі болса да, шешу ережелері ортақ: таңбаны, анықталу облысын және теңсіздіктің қатаң не қатаң емес екенін қадағалау керек. Теңсіздіктер жүйесі мен функцияны зерттеу осыған сүйенеді.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 04 Теңсіздіктер

ҰТО спецификациясының тармағы: 10 Сызықтық, квадрат және рационал теңсіздіктер. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер. Қарапайым иррационал теңсіздіктер. Көрсеткіштік теңсіздіктер. Логарифмдік теңсіздіктер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 2–3 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

Сызықтық, квадрат және рационал теңсіздіктерді, соның ішінде интервалдар әдісімен шеше білу.
Қарапайым тригонометриялық және иррационал теңсіздіктерді шеше білу.
Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді негізі мен анықталу облысын ескеріп шеше білу.

Ең бастысы туралы қысқаша

Теріс көбейткіш не бөлгіш. Теңсіздіктің екі жағын теріс санға көбейтсе не бөлсе, теңсіздік таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады.
Квадрат теңсіздік. a>0, ал түбірлері x_1 < x_2 болса, ax^2+bx+c<0 теңсіздігі x_1 < x < x_2 аралығында, ax^2+bx+c>0 теңсіздігі x < x_1 не x>x_2 болғанда орындалады.
Интервалдар әдісі. Барлық мүшені бір жағына көшіріп, оң жағында 0 қалдыр. Алымы мен бөлімінің нөлдерін сан түзуінде белгілеп, әр аралықтағы таңбаны тап. Бөлімнің нөлдері шешімге ешқашан кірмейді.
Көрсеткіштік және логарифмдік. a>1 болса, a^f < a^g теңсіздігінен f < g шығады, таңба сақталады; 0 < a < 1 болса, таңба ауысады. Логарифмде де солай, тек f>0 және g>0 шарттары қосылады.
Иррационал теңсіздік. \sqrt{f} < g теңсіздігі f\ge 0, g>0, f < g^2 жүйесімен мәндес. Екі жағы да теріс болмағанда ғана квадратқа шығарады.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\log_{3}(x - 2) < \log_{3}(14 - x) теңсіздігінің бүтін шешімдерінің санын табыңыз.

A)5
B)6
C)11
D)3

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

Мүмкін мәндер жиыны: x - 2 > 0 және 14 - x > 0, яғни 2 < x < 14. Негізі 3 > 1, сондықтан таңба сақталады: x - 2 < 14 - x, 2x < 16, x < 8. Мүмкін мәндер жиынын ескерсек, 2 < x < 8; бүтін шешімдері 3, \ldots, 7, олардың саны 5. 6 нұсқасы — теңсіздік қатаң болса да, x = 8 мәнін қосқан. 11 нұсқасы — тек мүмкін мәндер жиынын 2 < x < 14 ескеріп, логарифм аргументтерін салыстырмаған. 3 нұсқасы — -2 мүшесін көшіргенде таңбасын өзгертпеген: 2x < 14 - 2, x < 6.

Жиі кететін қателер

Теріс санға бөліп, таңбаны өзгертпейді. Бөлер алдында әр жолы бөлгіштің таңбасын тексер.
Логарифмнің анықталу облысын ұмытады: аргументтер оң болуы шарт. Алдымен шарттарды жазып ал, шешкен соң қиылысын тап.
Негізі 0 < a < 1 болса да, таңбаны өзгертпейді. Көрсеткіштерді не аргументтерді салыстырмас бұрын негізін тексер.
Қатаң және қатаң емес шекараны шатастырады: < белгісінде шекара кірмейді, \le белгісінде теңдікке айналатын нүктелер кіреді; бөлімнің нөлдері мен логарифмнің анықталу облысының шекарасы ешқашан кірмейді.

Тақырып бойынша сұрақтар

Неге теңсіздікті таңбасы белгісіз, айнымалысы бар өрнекке көбейтуге болмайды?: Ондай өрнектің таңбасы алдын ала белгісіз: өрнек оң болатын аралықтарда теңсіздік таңбасы сақталады, теріс болатын аралықтарда ауысады. Сондықтан рационал теңсіздікте барлық мүшені бір жағына көшіріп, \frac{P(x)}{Q(x)}>0 түріне келтіреді де, интервалдар әдісімен шешеді.
\log_a f(x)>\log_a g(x) теңсіздігі қалай шешіледі?: Алдымен анықталу облысын жазады: f(x)>0 және g(x)>0. Содан кейін негізге қарайды (негізі a — сан, a>0, a\ne 1): a>1 болса, f(x)>g(x) теңсіздігіне, 0 < a < 1 болса, f(x) < g(x) теңсіздігіне көшеді. Жауабы — шыққан жиын мен анықталу облысының қиылысы.

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.