ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Виды неравенств и способы их решения

Неравенства разных видов решают по общим правилам: нужно следить за знаком, областью определения (ОДЗ) и строгостью неравенства. Это основа для систем неравенств и исследования функций.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 04 Неравенства

Пункт спецификации НЦТ: 10 Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства

По нашей оценке, в варианте в среднем 2–3 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Решать линейные, квадратные и рациональные неравенства, в том числе методом интервалов.
  • Решать простейшие тригонометрические и иррациональные неравенства.
  • Решать показательные и логарифмические неравенства с учётом основания и области определения.

Кратко о главном

  • Отрицательный множитель или делитель. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
  • Квадратное неравенство. Если a>0 и корни x_1 < x_2, то ax^2+bx+c<0 при x_1 < x < x_2, а ax^2+bx+c>0 при x < x_1 или x>x_2.
  • Метод интервалов. Перенеси всё в одну часть, чтобы справа был 0. Отметь нули числителя и знаменателя на прямой и найди знак на каждом промежутке. Нули знаменателя всегда выколоты.
  • Показательные и логарифмические. При a>1 из a^f < a^g следует f < g, знак сохраняется; при 0 < a < 1 знак меняется. Для логарифмов правило то же, но добавляются условия f>0 и g>0.
  • Иррациональные. \sqrt{f} < g равносильно системе f\ge 0, g>0, f < g^2. В квадрат возводят, только когда обе части неотрицательны.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Найдите число целых решений неравенства \log_{3}(x - 2) < \log_{3}(14 - x).
  • A)5
  • B)6
  • C)11
  • D)3
Ответ и разбор

Верный ответ: A

ОДЗ: x - 2 > 0 и 14 - x > 0, то есть 2 < x < 14. Основание 3 > 1, поэтому знак сохраняется: x - 2 < 14 - x, 2x < 16, x < 8. С учётом ОДЗ 2 < x < 8; целые решения 3, \ldots, 7 — их 5. Вариант 6 — включили x = 8, хотя неравенство строгое. Вариант 11 — учли только ОДЗ 2 < x < 14 и не сравнили аргументы логарифмов. Вариант 3 — при переносе -2 не сменили знак: 2x < 14 - 2, x < 6.

Типичные ошибки

  • Делят на отрицательное число и не меняют знак. Перед каждым делением проверь знак делителя.
  • Забывают ОДЗ логарифма: аргументы должны быть положительны. Сначала выпиши условия, потом реши и найди пересечение.
  • При основании 0 < a < 1 сохраняют знак. Перед сравнением показателей или аргументов проверь основание.
  • Путают строгие и нестрогие концы: при < граница не входит, при \le входят точки, где неравенство обращается в равенство; нули знаменателя и границы ОДЗ логарифма не входят никогда.

Вопросы по теме

Почему неравенство нельзя умножать на выражение с переменной, не зная его знака?
Знак такого выражения заранее неизвестен: где оно положительно, знак неравенства сохраняется, а где отрицательно — меняется. Поэтому в рациональном неравенстве всё переносят в одну часть, приводят к виду \frac{P(x)}{Q(x)}>0 и решают методом интервалов.
Как решить неравенство \log_a f(x)>\log_a g(x)?
Сначала записывают область определения: f(x)>0 и g(x)>0. Затем смотрят на основание (основание a — число, a>0, a\ne 1): при a>1 переходят к f(x)>g(x), при 0 < a < 1 — к f(x) < g(x). Ответ — пересечение полученного множества с областью определения.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.