Чем система неравенств отличается от совокупности?

В системе неравенства должны выполняться одновременно, поэтому ответ — пересечение их решений. В совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно неравенство, и ответ — объединение решений. Систему обозначают фигурной скобкой, совокупность — квадратной.

Как найти целые решения системы неравенств?

Реши каждое неравенство, найди пересечение и запиши его промежутком. Потом выпиши целые числа этого промежутка, отдельно проверив концы: конец входит, только если он удовлетворяет всем неравенствам системы и области определения. Например, при (1)/(2) < x≤ 8 целые решения — от 1 до 8, их 8.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Решение систем неравенств

В системе все неравенства должны выполняться одновременно. Каждое решают отдельно, а ответ — общая часть всех решений.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 05 Системы неравенств

Пункт спецификации НЦТ: 11 Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств

По нашей оценке, в варианте в среднем 1 задание по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Решать системы линейных неравенств и записывать ответ промежутком.
Решать системы дробно-рациональных и нелинейных неравенств с одной переменной.
Решать системы показательных и логарифмических неравенств с учётом области определения.

Кратко о главном

Пересечение. Решение системы — пересечение решений всех неравенств. Нанеси промежутки на одну прямую и возьми участок, где штриховки перекрываются.
Нет общих точек. Если общей части нет, система решений не имеет: например, x>3 и x<1.
Дробные неравенства. \frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0 решают методом интервалов; условие Q(x)\ne 0 действует для всей системы.
Показательные. Приведи части к одному основанию: 243=3^5, 8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}. При a>1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 меняется.
Логарифмические. Число записывают как логарифм: c=\log_a a^c. Сначала выпиши область определения всех логарифмов системы, затем пересекай с решениями.
Целые решения. На отрезке [m; n] с целыми концами n-m+1 целых чисел, их сумма \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}. Конец строгого неравенства в счёт не входит.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Найдите сумму целых решений системы неравенств: \begin{cases} \log_{2}(x-1)\le 3,\\ \log_{\frac{1}{3}}x<-1. \end{cases}

A)39
B)42
C)30
D)2

Ответ и разбор

Верный ответ: A

Область определения: x>1. Первое: x-1\le 2^3=8, x\le 9; вместе с областью определения 1<x\le 9. Второе: -1=\log_{\frac{1}{3}}3; основание \frac{1}{3}<1, знак меняется: x>3. Пересечение: 3<x\le 9. Целые решения: 4, 5, 6, 7, 8, 9; сумма 4+5+6+7+8+9=39. Ответ A. Вариант B (42) — включено x=3, хотя неравенство строгое: 39+3=42. Вариант C (30) — из x-1\le 8 получено x\le 8 (потеряна единица): 4+5+6+7+8=30. Вариант D (2) — знак не сменён при основании меньше 1: x<3, с областью определения 1<x<3, единственное целое решение 2.

Найдите сумму целых решений системы неравенств: \begin{cases} x^2-6x-16\le 0,\\ 2x-1>0. \end{cases}

A)33
B)35
C)36
D)28

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Первое неравенство: x^2-6x-16\le 0; дискриминант D=36+64=100, корни x_1=-2, x_2=8, поэтому -2\le x\le 8. Второе неравенство: 2x>1, откуда x>\frac{1}{2}. Решение системы: \frac{1}{2}<x\le 8. Целые решения: 1\le x\le 8, их количество 8, сумма \frac{(1+8)\cdot 8}{2}=36. Если забыть второе неравенство и сложить все целые числа промежутка -2\le x\le 8, получится 33; если из неравенства 2x>1, не разделив на два, получить x>1, получится 35; если принять нестрогое неравенство за строгое и потерять x=8, получится 28.

Типичные ошибки

Объединяют решения вместо пересечения. В системе нужны только точки, подходящие сразу под все неравенства.
Теряют одно из неравенств, чаще простое линейное. Перед ответом сверь промежуток с каждым неравенством.
Не учитывают область определения: условие x>1 для \log_2(x-1) теряется. Записывай его первой строкой.
Ошибаются на концах при подсчёте целых: берут точку строгого неравенства или теряют точку нестрогого. Проверь каждый конец отдельно.

Вопросы по теме

Чем система неравенств отличается от совокупности?: В системе неравенства должны выполняться одновременно, поэтому ответ — пересечение их решений. В совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно неравенство, и ответ — объединение решений. Систему обозначают фигурной скобкой, совокупность — квадратной.
Как найти целые решения системы неравенств?: Реши каждое неравенство, найди пересечение и запиши его промежутком. Потом выпиши целые числа этого промежутка, отдельно проверив концы: конец входит, только если он удовлетворяет всем неравенствам системы и области определения. Например, при \frac{1}{2} < x\le 8 целые решения — от 1 до 8, их 8.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.