Как найти S_13 арифметической прогрессии, если известна сумма a_4+a_10?

Суммы номеров совпадают: 1+13=4+10, значит a_1+a_13=a_4+a_10. Это значение подставляют в формулу S_13=frac(a_1+a_13)· 132. Например, при a_4+a_10=10 получаем S_13=(10· 13)/(2)=65.

Как проверить, что три числа образуют геометрическую прогрессию?

Для ненулевых чисел a, b, c проверяют равенство b^2=a· c, то есть равенство отношений (b)/(a) и (c)/(b). Например, для 3, 9, 27: 9^2=81=3· 27, знаменатель q=3.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Прогрессия — последовательность с постоянным шагом или постоянным множителем. Её формулы нужны в задачах на суммы, проценты и рост.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 06 Последовательности

Пункт спецификации НЦТ: 12 Арифметическая и геометрическая прогрессии

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Находить любой член, разность и сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Находить член, знаменатель и сумму геометрической прогрессии, в том числе бесконечно убывающей.
Применять свойства прогрессий в задачах, где связаны обе прогрессии.

Кратко о главном

Арифметическая. a_n=a_1+(n-1)d, где d — разность; S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}.
Свойства членов. Каждый член, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен полусумме соседних: a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. Если m+k=p+q, то a_m+a_k=a_p+a_q.
Геометрическая. b_n=b_1\cdot q^{n-1}, где q\ne 0 — знаменатель; при q\ne 1 сумма S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.
Признак геометрической. Для ненулевых членов b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}: так проверяют, образуют ли три числа геометрическую прогрессию.
Бесконечно убывающая. При |q|<1 сумма всех членов S=\frac{b_1}{1-q}.
Три числа. Три подряд идущих члена арифметической прогрессии удобно записать как a-d, a, a+d: их сумма равна 3a.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

В арифметической прогрессии a_4 + a_{10} = 18. Найдите сумму S_{13} первых тринадцати членов прогрессии.

A)234
B)63
C)108
D)117

Ответ и разбор

Верный ответ: D

В арифметической прогрессии равны суммы членов, у которых равны суммы номеров: 1 + 13 = 4 + 10, поэтому a_1 + a_{13} = a_4 + a_{10} = 18. Тогда S_{13} = \frac{(a_1 + a_{13}) \cdot 13}{2} = \frac{18 \cdot 13}{2} = 117. Ответ 234 — забыто деление на 2: 18 \cdot 13 = 234. Ответ 63 — найдена лишь сумма членов с a_4 по a_{10}, число которых n = 7: \frac{18 \cdot 7}{2} = 63. Ответ 108 — число членов взято равным 12, а нужно 13: \frac{18 \cdot 12}{2} = 108.

Сумма трёх чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 15. Если прибавить к ним соответственно 1, 4 и 19, получится геометрическая прогрессия. Найдите наибольшее из исходных чисел.

A)27
B)26
C)8
D)3

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Числа: a - d, a, a + d, где d > 0. Из 3a = 15 получаем a = 5. После прибавления: 6 - d, 9, 24 + d. Условие геометрической прогрессии: (6 - d)(24 + d) = 81, то есть 144 - 18d - d^2 = 81, d^2 + 18d - 63 = 0, откуда d = 3 или d = -21. Прогрессия возрастающая, значит d = 3: числа 2, 5, 8 (проверка: 3, 9, 27 — геометрическая прогрессия). Наибольшее 8. Ответ C. A (27): указали наибольший член геометрической прогрессии, а не исходного числа. B (26): не учли, что прогрессия возрастающая, и взяли d = -21 (или ошиблись в знаке и получили d^2 - 18d - 63 = 0, d = 21): 5 + 21 = 26. D (3): в ответ записали разность d, а не само число.

Типичные ошибки

Пишут a_n=a_1+nd вместо a_1+(n-1)d. Проверь формулу при n=1: должно получиться a_1.
Забывают деление на 2 в сумме арифметической прогрессии или неверно считают члены: с a_4 по a_{10} их 7, а не 6.
Применяют S=\frac{b_1}{1-q} при |q|\ge 1. Эта формула верна только при |q|<1.
Не отбрасывают лишний корень: в возрастающей арифметической прогрессии d>0. Сверяй найденные d и q с условием задачи.

Вопросы по теме

Как найти S_{13} арифметической прогрессии, если известна сумма a_4+a_{10}?: Суммы номеров совпадают: 1+13=4+10, значит a_1+a_{13}=a_4+a_{10}. Это значение подставляют в формулу S_{13}=\frac{(a_1+a_{13})\cdot 13}{2}. Например, при a_4+a_{10}=10 получаем S_{13}=\frac{10\cdot 13}{2}=65.
Как проверить, что три числа образуют геометрическую прогрессию?: Для ненулевых чисел a, b, c проверяют равенство b^2=a\cdot c, то есть равенство отношений \frac{b}{a} и \frac{c}{b}. Например, для 3, 9, 27: 9^2=81=3\cdot 27, знаменатель q=3.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.