ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Начала анализа и текстовые задачи

Как перевести условие задачи на язык функций и уравнений и применить к ним производную и первообразную. Нужно в задачах на движение, работу и наибольшее значение.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 07 Математическое моделирование и анализ

Пункт спецификации НЦТ: 13 Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

По нашей оценке, в варианте в среднем 6–7 заданий по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Применять производную и первообразную в задачах о скорости, пути, наибольших и наименьших значениях.
  • Составлять уравнение или функцию по условию текстовой задачи.
  • Решать полученную модель и отбирать ответ по смыслу задачи.

Кратко о главном

  • Производная как скорость. Если s(t) — путь, то скорость v(t) = s'(t), а ускорение a(t) = v'(t).
  • Путь по скорости. Путь — первообразная скорости (при v \ge 0); при s(0) = 0 имеем s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Так, для v = kt^2 путь s = \frac{kt^3}{3}, а не v \cdot t.
  • Встреча и погоня. Навстречу скорость сближения v_1 + v_2, вдогонку — v_1 - v_2 (v_1 — скорость догоняющего). Если один выехал раньше, сначала найди расстояние между ними в момент старта второго.
  • Арифметическая прогрессия. Если выработка каждый день растёт на одно и то же число d: a_n = a_1 + (n-1)d, S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}.
  • Наибольшее на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке ищут среди её значений в критических точках внутри отрезка и на его концах.
  • Отбор корней. Корни проверяют по смыслу: время и длина положительны, число дней натуральное.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Из двух городов, расстояние между которыми 72 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Первый едет со скоростью 12 км/ч, второй выехал на 1 ч позже и едет со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов после выезда второго велосипедиста они встретятся?
  • A)2{,}4 ч
  • B)2 ч
  • C)3 ч
  • D)10 ч
Ответ и разбор

Верный ответ: B

За 1 ч первый велосипедист проедет 12\cdot 1=12 км, между ними останется 72-12=60 км. Скорость сближения 12+18=30 км/ч, время до встречи 60:30=2 ч (ответ B). A: 2{,}4 ч =72:30 — не учтён час, который первый ехал один. C: 3 ч — время в пути первого велосипедиста (2+1), а спрашивают о втором. D: 10 ч =60:(18-12) — скорости вычтены, как при движении вдогонку.
Два тела одновременно начинают движение из одной точки в одном направлении. Первое движется с постоянной скоростью 18 м/с. Второе начинает движение из состояния покоя, его скорость пропорциональна квадрату времени, прошедшего от начала движения, и через 2 с после старта его скорость равна 6 м/с. Через сколько секунд второе тело догонит первое?
  • A)3 с
  • B)24 с
  • C)36 с
  • D)6 с
Ответ и разбор

Верный ответ: D

Скорость второго тела пропорциональна квадрату времени: v(t) = kt^2. По условию v(2) = 4k = 6, откуда k = \frac{3}{2} и v(t) = \frac{3t^2}{2}. Путь второго тела — первообразная скорости с условием s_2(0) = 0: s_2(t) = \int_0^t \frac{3\tau^2}{2}\,d\tau = \frac{t^3}{2}. Путь первого тела: s_1 = 18t. Второе догонит первое, когда пути равны: \frac{t^3}{2} = 18t, t(t^2 - 36) = 0. Корень t = 0 — момент старта, он не подходит; t^2 = 36, t = 6 с. Проверка: s_1 = 18 \cdot 6 = 108 м, s_2 = \frac{216}{2} = 108 м. Ответ D. Неверные варианты: A (3 с) — при решении \frac{t^3}{2} = 18t число 18 поделено на 2 вместо умножения: t^2 = 9, t = 3; B (24 с) — путь второго тела взят по формуле равноускоренного движения \frac{kt^2}{2} = \frac{3t^2}{4}: тогда \frac{3t^2}{4} = 18t, t = 24; C (36 с) — из t^2 = 36 не извлечён квадратный корень. Если взять путь как v \cdot t = \frac{3t^3}{2} или приравнять скорости \frac{3t^2}{2} = 18, получится t^2 = 12 — такого ответа среди вариантов нет.

Типичные ошибки

  • Считать путь как v \cdot t, когда скорость меняется со временем. При переменной скорости путь находят через первообразную.
  • Брать формулу \frac{at^2}{2} для любого разгона. Она верна только при постоянном ускорении и старте из покоя; если начальная скорость v_0 \ne 0, путь равен v_0t + \frac{at^2}{2}.
  • Забыть, что один участник начал раньше. Сначала найди, сколько он успел пройти или сделать один, и только потом составляй уравнение.
  • Оставить в ответе отрицательный корень, его модуль или t = 0. Время, длина и число дней должны подходить по смыслу задачи.

Вопросы по теме

Как найти путь, если скорость задана как функция времени?
Путь — первообразная скорости (если скорость не отрицательна). Если в начальный момент путь равен нулю, то s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Например, при v = 3t^2 получаем s = t^3, и за 2 с тело проходит 8 м. Путь за промежуток от t_1 до t_2 при неотрицательной скорости равен \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
Как найти наибольшее значение функции на отрезке?
Находят производную и критические точки внутри отрезка, затем считают значения функции в этих точках и на концах и выбирают наибольшее. Например, для f(x) = x^3 - 3x на [0;\,2]: f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 при x = \pm 1, на отрезке лежит только x = 1; f(0) = 0, f(1) = -2, f(2) = 2. Наибольшее значение 2, наименьшее -2.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.