ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Углы, многоугольники и окружность

Основа планиметрии: углы между прямыми, углы треугольников и многоугольников, расположение прямой и окружности. Эти факты нужны почти в каждой задаче по геометрии.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 08 Планиметрия

Пункт спецификации НЦТ: 14 Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур

По нашей оценке, в варианте в среднем 2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Различать виды углов и применять свойства углов при параллельных прямых и секущей.
  • Находить углы треугольников и многоугольников, в том числе правильных.
  • Определять взаимное расположение прямой и окружности, применять свойства касательных.

Кратко о главном

  • Углы при прямых. Смежные углы в сумме 180°, вертикальные равны. При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние в сумме 180°.
  • Углы треугольника. Сумма углов 180°; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
  • Многоугольник. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника (n-2) \cdot 180°, внешних (по одному при вершине) — 360°. У правильного внутренний угол 180° - \frac{360°}{n}.
  • Прямая и окружность. Пусть d — расстояние от центра до прямой, r — радиус. При d < r две общие точки, при d = r касание, при d > r общих точек нет.
  • Касательная. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных от одной точки до точек касания равны.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Часы показывают 3 ч 30 мин. Найдите меньший из углов между часовой и минутной стрелками.
  • A)75°
  • B)90°
  • C)105°
  • D)60°
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Минутная стрелка стоит на цифре 6, то есть повёрнута от цифры 12 на 180°. Часовая стрелка проходит 30° за час и 0{,}5° за минуту: 30°\cdot 3 + 0{,}5°\cdot 30 = 90° + 15° = 105°. Угол между стрелками 180° - 105° = 75°. Ошибки: 90° — часовую стрелку оставили точно на цифре 3; 105° — за ответ взяли угол часовой стрелки от цифры 12; 60° — часовую стрелку сдвинули на целый час, до цифры 4: 180° - 120° = 60°.
Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB (A и B — точки касания), PA = 7 см. Касательная к окружности в точке C меньшей дуги AB пересекает отрезки PA и PB в точках M и N. Найдите периметр треугольника PMN.
  • A)14 см
  • B)7 см
  • C)21 см
  • D)28 см
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: PA = PB = 7 см, MA = MC, NB = NC. Тогда периметр PM + MN + PN = PM + MC + CN + PN = PM + MA + NB + PN = PA + PB = 7 + 7 = 14 см. Вариант 7 см — за периметр принят один отрезок PA. Вариант 21 см — треугольник PMN принят равносторонним со стороной, равной PA: 3 \cdot 7 = 21. Вариант 28 см — стороны PM и PN приняты равными PA и PB, а сторона MN — равной PA + PB: 7 + 7 + 14 = 28.

Типичные ошибки

  • Оставлять часовую стрелку точно на цифре. За каждую минуту она сдвигается на 0{,}5°, в 3 ч 30 мин она уже между 3 и 4.
  • Терять -2 в формуле суммы углов: у n-угольника она равна (n-2) \cdot 180°, а не n \cdot 180°. Проверка: у треугольника выходит 180°.
  • Путать односторонние углы с накрест лежащими. При параллельных прямых и секущей односторонние углы в сумме всегда дают 180°, а равны только тогда, когда оба по 90°.
  • Считать равными отрезки касательных из разных точек. Равны только отрезки, проведённые из одной и той же точки до точек касания.

Вопросы по теме

Как быстро найти угол между стрелками часов?
Для времени h ч m мин (12-часовой формат, h от 0 до 11) часовая стрелка повёрнута от цифры 12 на 30h + 0{,}5m градусов, минутная — на 6m. Угол между ними равен |30h - 5{,}5m|; если получилось больше 180°, меньший угол равен 360° минус это число. Для 3 ч 30 мин: |90 - 165| = 75°.
Как узнать число сторон правильного многоугольника по его внутреннему углу?
Удобнее идти через внешний угол: он равен 180° минус внутренний, а все внешние углы в сумме дают 360°. Поэтому n = \frac{360°}{180° - \alpha}. Например, при внутреннем угле 140° внешний равен 40°, и n = 9. Если деление не нацело, такого правильного многоугольника нет.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.