ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Метрические соотношения и векторы

Как вычислять длины, углы и площади в треугольниках и работать с векторами на координатной плоскости. Пригодится и в планиметрии, и в задачах с координатами.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 08 Планиметрия

Пункт спецификации НЦТ: 15 Метрические соотношения. Векторы и преобразования

По нашей оценке, в варианте в среднем 3–4 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Применять теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов, находить площади треугольников.
  • Действовать с векторами в координатах: находить длину вектора, скалярное произведение и угол между векторами.
  • Применять свойства движений и подобия фигур.

Кратко о главном

  • Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике c^2 = a^2 + b^2 (c — гипотенуза). Высота равнобедренного треугольника к основанию делит основание пополам.
  • Теоремы косинусов и синусов. c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C; \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, где R — радиус описанной окружности.
  • Площадь треугольника. S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}ab\sin C; по трём сторонам — формула Герона S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p — полупериметр.
  • Координаты вектора. Для A(x_1;\,y_1) и B(x_2;\,y_2): \overrightarrow{AB}(x_2 - x_1;\,y_2 - y_1). Длина \vec a(x;\,y) равна \sqrt{x^2 + y^2}.
  • Скалярное произведение. Для \vec a(a_1;\,a_2) и \vec b(b_1;\,b_2): \vec a\cdot\vec b = a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi. Если векторы ненулевые: ноль — они перпендикулярны, минус — угол тупой или 180°.
  • Преобразования. Движения (симметрия, поворот, параллельный перенос) сохраняют расстояния и углы. При подобии с коэффициентом k длины меняются в k раз, площади — в k^2 раз.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание — 12 см. Найдите площадь треугольника.
  • A)48 см²
  • B)96 см²
  • C)60 см²
  • D)24 см²
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам: 12 : 2 = 6 см. По теореме Пифагора h^2 = 10^2 - 6^2 = 64, откуда h = 8 см. Площадь S = 12 \cdot 8 : 2 = 48 см². Неверные варианты: 96 см² — произведение основания на высоту не разделено на 2; 60 см² — за высоту принята боковая сторона: 12 \cdot 10 : 2; 24 см² — найдена площадь только одного из двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит данный.
Даны точки A(0;\,3) и B(3;\,1). Точка C лежит на прямой x + y = 9, и угол BAC равен 45°. Найдите абсциссу точки C.
  • A)5
  • B)7{,}5
  • C)-1{,}5
  • D)2{,}4
Ответ и разбор

Верный ответ: A

Точка C лежит на прямой x + y = 9, поэтому C(m;\,9 - m). Угол BAC — это угол между векторами \overrightarrow{AB}(3;\,-2) и \overrightarrow{AC}(m;\,6 - m). Скалярное произведение: \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3m - 2(6 - m) = 5m - 12; длины: |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{13}, |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{m^2 + (6 - m)^2} = \sqrt{2m^2 - 12m + 36}. Условие: \frac{5m - 12}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{2m^2 - 12m + 36}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Косинус положителен, поэтому нужно 5m - 12 > 0. Возводим в квадрат: 2(5m - 12)^2 = 13(2m^2 - 12m + 36), 50m^2 - 240m + 288 = 26m^2 - 156m + 468, 24m^2 - 84m - 180 = 0, 2m^2 - 7m - 15 = 0, корни m_1 = 5 и m_2 = -1{,}5. Проверка знака: при m = 5 получаем 5m - 12 = 13 > 0, подходит: C(5;\,4), \overrightarrow{AC}(5;\,1), \cos\angle BAC = \frac{13}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{26}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. При m = -1{,}5 получаем 5m - 12 = -19{,}5 < 0: косинус отрицателен, угол равен 135°, корень посторонний. Ответ: 5. Неверные варианты: -1{,}5 — посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат и не отброшенный проверкой знака скалярного произведения; 7{,}5 — вместо вектора \overrightarrow{AC} взят вектор \overrightarrow{OC}(m;\,9 - m) (не вычтены координаты точки A): 2(5m - 18)^2 = 13(2m^2 - 18m + 81), 8m^2 - 42m - 135 = 0, m = 7{,}5; 2{,}4 — вместо угла 45° взято условие перпендикулярности 5m - 12 = 0.

Типичные ошибки

  • Брать боковую сторону за высоту. Высоту к основанию равнобедренного треугольника находят по теореме Пифагора: h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2, где b — боковая сторона, a — основание.
  • Забывать множитель \frac{1}{2} в формуле площади треугольника: произведение основания на высоту — это площадь прямоугольника, а не треугольника.
  • Брать координаты точки вместо координат вектора или вычитать координаты конца из координат начала. Для \overrightarrow{AB} из координат B вычитают координаты A.
  • Возводить уравнение с косинусом в квадрат и не проверять знак. Так появляется посторонний корень, при котором косинус противоположного знака (например, угол тупой вместо острого).

Вопросы по теме

Как найти угол между векторами по их координатам?
Скалярное произведение делят на произведение длин: \cos\varphi = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{|\vec a|\cdot|\vec b|}, затем по косинусу находят угол. Например, для \vec a(1;\,0) и \vec b(1;\,1): \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, значит, \varphi = 45°. Знак косинуса показывает тип угла: плюс — острый (или 0°), ноль — прямой, минус — тупой (или 180°).
Когда нужна теорема косинусов, а когда хватит теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике. В любом другом третью сторону по двум сторонам и углу между ними находят по теореме косинусов. Например, при a = 3, b = 5 и угле 120°: c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49, c = 7. При угле 90° она превращается в теорему Пифагора.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.