ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Метрикалық қатыстар және векторлар

Тақырыпта үшбұрыштағы ұзындықтарды, бұрыштар мен аудандарды есептеу және координаталық жазықтықтағы векторлармен жұмыс істеу қарастырылады. Планиметрияда да, координаталық есептерде де керек.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 08 Планиметрия

ҰТО спецификациясының тармағы: 15 Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 3–4 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Пифагор теоремасын, синустар мен косинустар теоремаларын қолдану, үшбұрыштардың ауданын табу.
  • Координаталарымен берілген векторларға амалдар орындау: вектордың ұзындығын, скаляр көбейтіндіні және векторлар арасындағы бұрышты табу.
  • Қозғалыстар мен фигуралар ұқсастығының қасиеттерін қолдану.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Пифагор теоремасы. Тікбұрышты үшбұрышта c^2 = a^2 + b^2 (c — гипотенуза). Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктік табанды тең екіге бөледі.
  • Косинустар мен синустар теоремалары. c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C; \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, мұнда R — сырттай сызылған шеңбердің радиусы.
  • Үшбұрыштың ауданы. S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}ab\sin C; үш қабырғасы белгілі болса, Герон формуласы: S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p — жарты периметр.
  • Вектордың координаталары. A(x_1;\,y_1) және B(x_2;\,y_2) үшін \overrightarrow{AB}(x_2 - x_1;\,y_2 - y_1). \vec a(x;\,y) векторының ұзындығы \sqrt{x^2 + y^2}.
  • Скаляр көбейтінді. \vec a(a_1;\,a_2) мен \vec b(b_1;\,b_2) үшін \vec a\cdot\vec b = a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi. Векторлар нөлдік емес болса: нөл — олар перпендикуляр, теріс — бұрыш доғал не 180°.
  • Түрлендірулер. Қозғалыстар (симметрия, бұру, параллель көшіру) қашықтықтар мен бұрыштарды сақтайды. Ұқсастық коэффициенті k болса, ұзындықтар k есе, аудандар k^2 есе өзгереді.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 10 см, ал табаны 12 см. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.
  • A)48 см²
  • B)96 см²
  • C)60 см²
  • D)24 см²
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктік табанды қақ бөледі: 12 : 2 = 6 см. Пифагор теоремасы бойынша h^2 = 10^2 - 6^2 = 64, осыдан h = 8 см. Аудан S = 12 \cdot 8 : 2 = 48 см². Қате нұсқалар: 96 см² — табан мен биіктіктің көбейтіндісі 2-ге бөлінбеген; 60 см² — биіктік орнына бүйір қабырға алынған: 12 \cdot 10 : 2; 24 см² — биіктік бөлетін екі тікбұрышты үшбұрыштың біреуінің ғана ауданы табылған.
A(0;\,3) және B(3;\,1) нүктелері берілген. C нүктесі x + y = 9 түзуінде жатыр, ал BAC бұрышы 45°-қа тең. C нүктесінің абсциссасын табыңыз.
  • A)5
  • B)7{,}5
  • C)-1{,}5
  • D)2{,}4
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

C нүктесі x + y = 9 түзуінде жатыр, сондықтан C(m;\,9 - m). BAC бұрышы — \overrightarrow{AB}(3;\,-2) және \overrightarrow{AC}(m;\,6 - m) векторларының арасындағы бұрыш. Скаляр көбейтінді: \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3m - 2(6 - m) = 5m - 12; ұзындықтары: |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{13}, |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{m^2 + (6 - m)^2} = \sqrt{2m^2 - 12m + 36}. Шарт: \frac{5m - 12}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{2m^2 - 12m + 36}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Косинус оң, сондықтан 5m - 12 > 0 болуы керек. Квадраттаймыз: 2(5m - 12)^2 = 13(2m^2 - 12m + 36), 50m^2 - 240m + 288 = 26m^2 - 156m + 468, 24m^2 - 84m - 180 = 0, 2m^2 - 7m - 15 = 0, түбірлері m_1 = 5 және m_2 = -1{,}5. Таңбаны тексереміз: m = 5 болғанда 5m - 12 = 13 > 0, жарайды: C(5;\,4), \overrightarrow{AC}(5;\,1), \cos\angle BAC = \frac{13}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{26}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. m = -1{,}5 болғанда 5m - 12 = -19{,}5 < 0: косинус теріс, бұрыш 135°-қа тең, бұл бөгде түбір. Жауабы: 5. Қате нұсқалар: -1{,}5 — квадраттағанда пайда болған бөгде түбір, скаляр көбейтіндінің таңбасы тексерілмей, алынып тасталмаған; 7{,}5 — \overrightarrow{AC} векторының орнына \overrightarrow{OC}(m;\,9 - m) векторы алынған (A нүктесінің координаталары шегерілмеген): 2(5m - 18)^2 = 13(2m^2 - 18m + 81), 8m^2 - 42m - 135 = 0, m = 7{,}5; 2{,}4 — 45° бұрыштың орнына перпендикулярлық шарты 5m - 12 = 0 алынған.

Жиі кететін қателер

  • Бүйір қабырғаны биіктік деп алу. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктікті Пифагор теоремасымен табады: h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2, мұнда b — бүйір қабырға, a — табан.
  • Үшбұрыш ауданының формуласындағы \frac{1}{2} көбейткішін ұмыту: табан мен биіктіктің көбейтіндісі үшбұрыштың емес, тіктөртбұрыштың ауданы.
  • Вектордың координаталарының орнына нүктенің координаталарын алу немесе басының координаталарынан соңының координаталарын азайту. \overrightarrow{AB} үшін B-нің координаталарынан A-ның координаталары шегеріледі.
  • Косинусы бар теңдеуді квадраттап, таңбасын тексермеу. Сонда косинусы қарама-қарсы таңбалы бөгде түбір шығады (мысалы, сүйір бұрыштың орнына доғал бұрыш).

Тақырып бойынша сұрақтар

Векторлар арасындағы бұрыш олардың координаталары арқылы қалай табылады?
Скаляр көбейтіндіні ұзындықтардың көбейтіндісіне бөледі: \cos\varphi = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{|\vec a|\cdot|\vec b|}, сосын косинусы бойынша бұрышты табады. Мысалы, \vec a(1;\,0) мен \vec b(1;\,1) үшін \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, демек \varphi = 45°. Косинустың таңбасы бұрыштың түрін көрсетеді: оң — сүйір (не 0°), нөл — тік, теріс — доғал (не 180°).
Косинустар теоремасы қашан керек, ал Пифагор теоремасы қашан жеткілікті?
Пифагор теоремасы тек тікбұрышты үшбұрышта орындалады. Басқа кез келген үшбұрышта екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрыш бойынша үшінші қабырға косинустар теоремасымен табылады. Мысалы, a = 3, b = 5, бұрыш 120° болса: c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49, c = 7. Бұрыш 90° болғанда ол Пифагор теоремасына айналады.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.