ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Көпжақтар мен айналу денелері

Тақырып кеңістіктегі фигуралардың неден құралатыны және олардың төбелерін, қырларын, жақтарын қалай санау керектігі туралы. Бұл — стереометрияның негізі: көлем мен қимаға арналған есептер осыдан басталады.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 09 Стереометрия

ҰТО спецификациясының тармағы: 16 Кеңістіктегі геометриялық фигуралар туралы түсінік

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1–2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Көпжақтар мен айналу денелерін ажырату, олардың элементтерін атау: төбе, қыр, жақ, табан, жасаушы.
  • Призманың, пирамиданың, кубтың және олардан алынған көпжақтардың төбелерін, қырларын, жақтарын, диагональдарын санау.
  • Кеңістіктегі түзулердің өзара орналасуын анықтау: қиылысатын, параллель немесе айқас түзулер.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Көпжақ. Көпбұрыштармен шектелген дене. Бұл көпбұрыштар — оның жақтары, жақтардың қабырғалары — қырлары, қырлардың ұштары — төбелері.
  • Эйлер формуласы. Дөңес көпжақтың төбелер санынан қырлар санын алып, жақтар санын қоссақ, 2 шығады. Мысалы, куб: 8 - 12 + 6 = 2.
  • Призма. Табаны n-бұрыш болса: 2n төбе, 3n қыр, n + 2 жақ. Бір жаққа тиісті емес төбелерді қосатын диагональдарының саны — n(n - 3).
  • Пирамида. Табаны n-бұрыш болса: n + 1 төбе, 2n қыр, n + 1 жақ.
  • Айқас түзулер. Қиылыспайды және параллель емес, яғни бір жазықтықта жатпайды. Кубтың әр қырына 3 қыр параллель, 4 қыр оны қияды, 4 қыр онымен айқас.
  • Айналу денелері. Тіктөртбұрышты бір қабырғасының төңірегінде айналдырғанда цилиндр, тікбұрышты үшбұрышты катетінің төңірегінде — конус, жарты дөңгелекті диаметрінің төңірегінде — шар шығады.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Кубтың 12 қыры бар. Олардың нешеуі осы кубтың берілген қырымен айқас болады?
  • A)8
  • B)3
  • C)4
  • D)5
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Қырдың өзінен басқа 11 қыр қалады. Берілген қырға 3 қыр параллель, 4 қыр оны қияды (әр ұшында 2-ден). Қалғандары айқас: 12 - 1 - 3 - 4 = 4. Қате нұсқалар: 8 — айқас қырларға қиылысатын қырлар да қосылған: 12 - 1 - 3 = 8; 3 — берілген қырға параллель қырлар саны; 5 — берілген қыр жатқан екі жақтың қырлары ғана алынып тасталған: 12 - 7 = 5, бірақ қалғандарының ішінде тағы бір параллель қыр бар — берілген қырға қарама-қарсы қыр.

Жиі кететін қателер

  • Бүйір жақтың диагоналін призманың диагоналі деп алу. Призманың диагоналі бір жаққа тиісті емес төбелерді қосады және призманың ішінен өтеді.
  • Призма диагональдарының санын көпбұрыштағыдай 2-ге бөлу. Тек жоғарғы табанның төбелерінен санаймыз: әрқайсысынан n - 3 диагональ шығады, әр диагональ бір-ақ рет саналады, сондықтан барлығы n(n - 3) болады.
  • Қиылыспайтын түзулер міндетті түрде параллель деп ойлау. Кеңістікте үшінші жағдай бар — айқас түзулер.
  • Төбелерді кесіп алғаннан кейін ескі қырларды ұмыту немесе қырды төбемен шатастыру. Төбе, қыр, жақты бөлек санап, Эйлер формуласымен тексер.

Тақырып бойынша сұрақтар

Айқас түзулердің параллель түзулерден айырмашылығы неде?
Екеуінің де ортақ нүктесі жоқ, бірақ параллель түзулер бір жазықтықта жатады, ал айқас түзулер жатпайды. Кубтан мысал: жоғарғы табанның қыры мен төменгі табанның оған параллель емес қыры айқас. Кубтың әр қырымен 4 қыр айқас болады.
Көпжақтың төбелерін, қырларын және жақтарын дұрыс санағанымды қалай тексеремін?
Эйлер формуласы көмектеседі: дөңес көпжақта төбелер саны минус қырлар саны плюс жақтар саны 2-ге тең. Куб үшін 8 - 12 + 6 = 2, алтыбұрышты призма үшін 12 - 18 + 8 = 2. Басқа сан шықса, санауда қате бар.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.