ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Многогранники и тела вращения

Тема о том, из чего состоят пространственные фигуры и как считать их элементы. Это основа стереометрии: с неё начинаются задачи на объёмы и сечения.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 09 Стереометрия

Пункт спецификации НЦТ: 16 Понятие о геометрических фигурах в пространстве

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Различать многогранники и тела вращения, называть их элементы: вершины, рёбра, грани, основания, образующие.
  • Считать вершины, рёбра, грани и диагонали призмы, пирамиды, куба и многогранников, полученных из них.
  • Определять взаимное расположение прямых в пространстве: пересекаются, параллельны или скрещиваются.

Кратко о главном

  • Многогранник. Тело, ограниченное многоугольниками. Эти многоугольники — грани, их стороны — рёбра, концы рёбер — вершины.
  • Формула Эйлера. У выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно 2. Куб: 8 - 12 + 6 = 2.
  • Призма. Если в основании n-угольник: 2n вершин, 3n рёбер, n + 2 грани. Диагоналей (отрезков между вершинами не из одной грани) — n(n - 3).
  • Пирамида. Если в основании n-угольник: n + 1 вершина, 2n рёбер, n + 1 грань.
  • Скрещивающиеся прямые. Не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости. У каждого ребра куба 3 параллельных, 4 пересекающих и 4 скрещивающихся ребра.
  • Тела вращения. Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, конус — прямоугольного треугольника вокруг катета, шар — полукруга вокруг диаметра.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

У куба 12 рёбер. Сколько из них скрещиваются с данным ребром этого куба?
  • A)8
  • B)3
  • C)4
  • D)5
Ответ и разбор

Верный ответ: C

Кроме самого ребра, остаются 11 рёбер. Параллельны данному 3 ребра, пересекают его 4 ребра (по 2 в каждом его конце). Остальные скрещиваются: 12 - 1 - 3 - 4 = 4. Неверные варианты: 8 — к скрещивающимся отнесены и пересекающие рёбра: 12 - 1 - 3 = 8; 3 — это число рёбер, параллельных данному; 5 — вычтены только рёбра двух граней, содержащих данное ребро: 12 - 7 = 5, но среди оставшихся есть ещё одно параллельное ребро — противоположное данному.

Типичные ошибки

  • Принимают диагональ боковой грани за диагональ призмы. Диагональ призмы соединяет вершины, не лежащие в одной грани, и проходит внутри призмы.
  • Делят число диагоналей призмы на 2, как у многоугольника. Считай от вершин верхнего основания: из каждой выходит n - 3 диагоналей, и каждая учтена один раз, поэтому их n(n - 3).
  • Считают, что непересекающиеся прямые обязательно параллельны. В пространстве есть третий случай — скрещивающиеся прямые.
  • После срезания вершин теряют старые рёбра или путают рёбра с вершинами. Сосчитай вершины, рёбра и грани отдельно и проверь формулой Эйлера.

Вопросы по теме

Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных?
И те и другие не имеют общих точек, но параллельные прямые лежат в одной плоскости, а скрещивающиеся — нет. Пример в кубе: ребро верхнего основания и не параллельное ему ребро нижнего основания скрещиваются. С каждым ребром куба скрещиваются 4 ребра.
Как проверить, верно ли посчитаны вершины, рёбра и грани многогранника?
По формуле Эйлера: у выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно 2. Для куба 8 - 12 + 6 = 2, для шестиугольной призмы 12 - 18 + 8 = 2. Если получилось другое число, в подсчёте есть ошибка.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.