ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Объёмы и площади поверхностей тел

Тема о вычислении объёмов, площадей поверхностей и длин в пространственных телах. Почти каждая задача сводится к прямоугольному треугольнику и нужной формуле.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 09 Стереометрия

Пункт спецификации НЦТ: 17 Метрические соотношения в пространстве

По нашей оценке, в варианте в среднем 3 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Находить объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения по их элементам.
  • Находить длины и расстояния в пространственных фигурах через прямоугольные треугольники и теорему Пифагора.
  • Связывать размеры тела с его развёрткой и сечениями.

Кратко о главном

  • Параллелепипед. Прямоугольный: V = abc, полная поверхность 2(ab + bc + ac), квадрат диагонали a^2 + b^2 + c^2.
  • Призма и цилиндр. Объём — площадь основания, умноженная на высоту. Цилиндр: V = \pi r^2 h, боковая поверхность 2\pi r h.
  • Пирамида и конус. Объём — треть произведения площади основания на высоту. Конус: V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, боковая поверхность \pi r l, полная \pi r(r + l), l^2 = r^2 + h^2.
  • Шар. V = \frac{4}{3}\pi R^3, площадь сферы 4\pi R^2.
  • Правильная пирамида. Вершина проецируется в центр основания: h^2 = b^2 - R^2, где b — боковое ребро, R — радиус окружности, описанной около основания.
  • Правильный треугольник. Площадь \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, радиус описанной окружности R = \frac{a}{\sqrt{3}}, вписанной — r = \frac{a}{2\sqrt{3}}.
  • Развёртка конуса. Сектор радиуса l, его дуга равна 2\pi r; угол сектора \frac{360^\circ \cdot r}{l}.

Задание с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите объём параллелепипеда.
  • A)26 см³
  • B)52 см³
  • C)24 см³
  • D)576 см³
Ответ и разбор

Верный ответ: C

Пусть рёбра равны a, b, c; тогда ab=6, bc=8, ac=12. Перемножим: (abc)^2=6\cdot8\cdot12=576, откуда V=abc=\sqrt{576}=24 см³. Ошибки: 26 см³ — сложили площади граней: 6+8+12=26; 52 см³ — это площадь полной поверхности 2\cdot26=52 см², а не объём; 576 см³ — забыли извлечь корень.

Типичные ошибки

  • Путают радиусы в правильной пирамиде. Высота и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник с радиусом R описанной окружности, а высота и апофема — с радиусом r вписанной.
  • Забывают множитель \frac{1}{3} в объёме пирамиды и конуса или, наоборот, ставят его в объём призмы и цилиндра.
  • Путают боковую и полную поверхность: в полную входит ещё площадь основания, а у призмы и цилиндра — двух оснований.
  • Ошибаются в площади правильного треугольника: верно \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, а не \frac{\sqrt{3}}{2}a^2.

Вопросы по теме

Как найти высоту правильной пирамиды, если известно боковое ребро?
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, поэтому высота, боковое ребро b и радиус R окружности, описанной около основания, образуют прямоугольный треугольник: h^2 = b^2 - R^2. Для правильного треугольника со стороной a радиус R = \frac{a}{\sqrt{3}}, для квадрата R = \frac{a}{\sqrt{2}} — половина диагонали.
Как связаны развёртка боковой поверхности конуса и его размеры?
Развёртка — круговой сектор, радиус которого равен образующей l, а длина дуги — длине окружности основания 2\pi r. Поэтому угол сектора равен \frac{360^\circ \cdot r}{l}. Например, при угле 180^\circ получается l = 2r, и осевое сечение конуса — правильный треугольник.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.