Денелердің көлемі мен бет ауданы

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Не істей білу керек

• Көпжақтар мен айналу денелерінің көлемін және бет ауданын элементтері арқылы табу.
• Кеңістіктегі фигуралардағы ұзындықтар мен арақашықтықтарды тікбұрышты үшбұрыш пен Пифагор теоремасы арқылы табу.
• Дененің өлшемдерін оның жазбасымен және қималарымен байланыстыру.

Ең бастысы туралы қысқаша

• Параллелепипед. Тікбұрышты параллелепипед: V = abc, толық беті 2(ab + bc + ac), диагоналінің квадраты a^2 + b^2 + c^2.
• Призма мен цилиндр. Көлемі — табан ауданы мен биіктіктің көбейтіндісі. Цилиндр: V = \pi r^2 h, бүйір беті 2\pi r h.
• Пирамида мен конус. Көлемі — табан ауданы мен биіктік көбейтіндісінің үштен бірі. Конус: V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, бүйір беті \pi r l, толық беті \pi r(r + l), l^2 = r^2 + h^2.
• Шар. V = \frac{4}{3}\pi R^3, сфераның ауданы 4\pi R^2.
• Дұрыс пирамида. Төбесі табанның центріне проекцияланады: h^2 = b^2 - R^2, мұнда b — бүйір қыры, R — табанға сырттай сызылған шеңбердің радиусы.
• Дұрыс үшбұрыш. Ауданы \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, сырттай сызылған шеңбер радиусы R = \frac{a}{\sqrt{3}}, іштей сызылғаны — r = \frac{a}{2\sqrt{3}}.
• Конустың жазбасы. Радиусы l болатын сектор, доғасы 2\pi r-ге тең; сектордың бұрышы \frac{360^\circ \cdot r}{l}.

Талдауы бар тапсырма

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Жиі кететін қателер

• Дұрыс пирамидада радиустарды шатастыру. Биіктік пен бүйір қыр сырттай сызылған шеңбердің R радиусымен тікбұрышты үшбұрыш құрайды, ал биіктік пен апофема — іштей сызылған шеңбердің r радиусымен.
• Пирамида мен конус көлеміндегі \frac{1}{3} көбейткішін ұмыту немесе, керісінше, оны призма мен цилиндр көлемінің формуласына жазып қою.
• Бүйір бет пен толық бетті шатастыру: толық бетке табанның ауданы да кіреді, ал призма мен цилиндрде — екі табанның ауданы.
• Дұрыс үшбұрыштың ауданын қате есептеу: дұрысы \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, ал \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 емес.

Тақырып бойынша сұрақтар

Бүйір қыры белгілі болса, дұрыс пирамиданың биіктігін қалай табамыз?

Дұрыс пирамиданың төбесі табанның центріне проекцияланады, сондықтан биіктік, b бүйір қыры және табанға сырттай сызылған шеңбердің R радиусы тікбұрышты үшбұрыш құрайды: h^2 = b^2 - R^2. Қабырғасы a-ға тең дұрыс үшбұрышта R = \frac{a}{\sqrt{3}}, шаршыда R = \frac{a}{\sqrt{2}} — диагоналінің жартысы.

Конустың бүйір бетінің жазбасы оның өлшемдерімен қалай байланысты?

Жазба — радиусы l жасаушысына тең дөңгелек сектор, ал оның доғасы табан шеңберінің ұзындығына, яғни 2\pi r-ге тең. Сондықтан сектордың бұрышы \frac{360^\circ \cdot r}{l}. Мысалы, бұрыш 180^\circ болса, l = 2r шығады, ал конустың осьтік қимасы дұрыс үшбұрыш болады.

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.