Кеңістікте векторлар арасындағы бұрышты қалай табамыз?

Скаляр көбейтінді арқылы: cosvarphi = (vec a · vec b)/(|vec a| · |vec b|), мұнда vec a · vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. Нөлдік емес векторлар үшін: скаляр көбейтінді нөлге тең болса, бұрыш тік; оң болса — 90^°-тан кіші (сүйір немесе 0^°), теріс болса — 90^°-тан үлкен (доғал немесе 180^°).

Кеңістікте берілген нүктеге симметриялы нүктені қалай табамыз?

(x; y; z) нүктесі үшін: координаталар басына қатысты — (-x; -y; -z), Oxy жазықтығына қатысты — (x; y; -z), Ox осіне қатысты — (x; -y; -z). M нүктесіне қатысты A нүктесінің бейнесі әр координата бойынша 2M - A-ға тең, себебі M — нүкте мен оның бейнесін қосатын кесіндінің ортасы.

← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Кеңістіктегі векторлар мен координаталар

Векторлар мен координаталар арқылы кеңістіктегі ұзындықтарды, бұрыштарды және кесінді орталарын формуламен табуға болады. Тақырып координаталармен берілген фигураларға арналған есептерде керек.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 10 Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер

ҰТО спецификациясының тармағы: 18 Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер. нұсқаулардың көмегімен әрекеттерді орындауға, қарапайым дәлелдер мен ұғымдарды пайдалануға негізделген

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

Кеңістікте вектордың координаталары мен ұзындығын, кесінді ортасының координаталарын табу.
Векторлармен амалдар орындау, скаляр көбейтіндіні және векторлар арасындағы бұрышты есептеу.
Векторлардың перпендикулярлығы мен коллинеарлығын координаталары арқылы тексеру.
Симметрия мен параллель көшіруде нүктенің координаталарын табу.

Ең бастысы туралы қысқаша

Вектор координаталары. A(x_1;\ y_1;\ z_1) және B(x_2;\ y_2;\ z_2) үшін: \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1). \vec a(x;\ y;\ z) ұзындығы: |\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
Кесіндінің ортасы. M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2};\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right). Ортасы мен A ұшы белгілі болса, B = 2M - A (әр координата бойынша).
Скаляр көбейтінді. \vec a(x_1;\ y_1;\ z_1) және \vec b(x_2;\ y_2;\ z_2) үшін: \vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos\varphi, мұнда \varphi — векторлар арасындағы бұрыш.
Перпендикулярлық, коллинеарлық. Нөлдік емес векторлар \vec a \cdot \vec b = 0 болса, перпендикуляр; координаталары пропорционал болса (\vec b = k\vec a), коллинеар.
Қосынды мен айырманың квадраты. |\vec a \pm \vec b|^2 = |\vec a|^2 \pm 2\,\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2.
Симметрия, көшіру. Координаталар басына қатысты симметрияда барлық координаталардың таңбасы өзгереді, Oxy жазықтығына қатысты — тек z-тің таңбасы. \vec p бойынша параллель көшіргенде нүкте координаталарына \vec p координаталары қосылады.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

\vec a\,(-2;\ -3;\ -5) және \vec b\,(1;\ 2;\ 2) векторлары берілген. k-ның қандай мәнінде \vec a+k\vec b векторы \vec b векторына перпендикуляр болады?

A)-2
B)18
C)2
D)0{,}5

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болғанда, олар перпендикуляр болады: (\vec a+k\vec b)\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec b+k\,|\vec b|^2=0. Есептейміз: \vec a\cdot\vec b=-2\cdot1+(-3)\cdot2+(-5)\cdot2=-2-6-10=-18, |\vec b|^2=1+4+4=9. Демек -18+9k=0, яғни k=2 (C нұсқасы). A нұсқасы (-2) -18-ді теңдіктің екінші жағына шығарғанда таңба қатесінен шығады. B нұсқасы (18) |\vec b|^2 көбейткішін ескермей, -18+k=0 теңдеуін шешкенде шығады. D нұсқасы (0{,}5) шартты шатастырып, k\vec a+\vec b мен \vec b векторларының перпендикулярлығын іздегенде шығады: -18k+9=0.

A)14
B)16
C)8
D)\sqrt{130}

Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

Айырманың скаляр квадраты: |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2, яғни 64=49-2\,\vec a\cdot\vec b+81, осыдан 2\,\vec a\cdot\vec b=66. Сонда |\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=49+66+81=196 және |\vec a+\vec b|=\sqrt{196}=14. Жауабы A. Қалғандары неге қате: B — ұзындықтар қосылған: 7+9=16, бірақ |\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b| теңдігі тек бағыттас векторлар үшін орындалады; C — қосындыға көшкенде 2\,\vec a\cdot\vec b таңбасы өзгертілмеген: 49-66+81=64, нәтижесі 8; D — векторлар перпендикуляр деп есептеліп, скаляр көбейтінді алынып тасталған: \sqrt{49+81}=\sqrt{130}.

Жиі кететін қателер

Басының координаталарынан соңының координаталарын алу. \overrightarrow{AB} — «соңы минус басы», әйтпесе таңба өзгеріп, скаляр көбейтінді қате шығады.
|\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b| деп есептеу. Бұл тек бағыттас векторларға дұрыс; жалпы жағдайда скаляр көбейтінді кіретін қосынды квадратының формуласы керек.
Оське қатысты симметрияда таңбасы өзгермейтін координатаның таңбасын ауыстыру. Ox осіне қатысты x сақталады, ал y пен z таңбасын өзгертеді.
Теріс координаталарды көбейткенде таңбада қателесу, мысалы (-3) \cdot 2. Әр көбейтіндіні бөлек жазып, содан кейін ғана қос.

Тақырып бойынша сұрақтар

Кеңістікте векторлар арасындағы бұрышты қалай табамыз?: Скаляр көбейтінді арқылы: \cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}, мұнда \vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. Нөлдік емес векторлар үшін: скаляр көбейтінді нөлге тең болса, бұрыш тік; оң болса — 90^\circ-тан кіші (сүйір немесе 0^\circ), теріс болса — 90^\circ-тан үлкен (доғал немесе 180^\circ).
Кеңістікте берілген нүктеге симметриялы нүктені қалай табамыз?: (x;\ y;\ z) нүктесі үшін: координаталар басына қатысты — (-x;\ -y;\ -z), Oxy жазықтығына қатысты — (x;\ y;\ -z), Ox осіне қатысты — (x;\ -y;\ -z). M нүктесіне қатысты A нүктесінің бейнесі әр координата бойынша 2M - A-ға тең, себебі M — нүкте мен оның бейнесін қосатын кесіндінің ортасы.

Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.