Как найти угол между векторами в пространстве?

Через скалярное произведение: cosvarphi = (vec a · vec b)/(|vec a| · |vec b|), где vec a · vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. Для ненулевых векторов: если скалярное произведение равно нулю, угол прямой; если положительно — угол меньше 90^° (острый или 0^°), если отрицательно — больше 90^° (тупой или 180^°).

Как найти точку, симметричную данной, в пространстве?

Для точки (x; y; z): относительно начала координат — (-x; -y; -z), относительно плоскости Oxy — (x; y; -z), относительно оси Ox — (x; -y; -z). Относительно точки M образ точки A равен 2M - A покоординатно, потому что M — середина отрезка между точкой и её образом.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Векторы и координаты в пространстве

Векторы и координаты переводят стереометрию на язык формул: длины, углы и середины отрезков находятся вычислением. Тема нужна в задачах на фигуры, заданные координатами.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 10 Векторы и преобразования в пространстве

Пункт спецификации НЦТ: 18 Векторы и преобразования в пространстве

По нашей оценке, в варианте в среднем 1 задание по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Находить координаты и длину вектора, координаты середины отрезка в пространстве.
Выполнять действия с векторами, вычислять скалярное произведение и угол между векторами.
Проверять перпендикулярность и коллинеарность векторов по их координатам.
Находить координаты точки при симметрии и параллельном переносе.

Кратко о главном

Координаты вектора. Для A(x_1;\ y_1;\ z_1) и B(x_2;\ y_2;\ z_2): \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1). Длина \vec a(x;\ y;\ z): |\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
Середина отрезка. M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2};\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right). Зная середину и конец A: B = 2M - A покоординатно.
Скалярное произведение. Для \vec a(x_1;\ y_1;\ z_1) и \vec b(x_2;\ y_2;\ z_2): \vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos\varphi, где \varphi — угол между векторами.
Перпендикулярность, коллинеарность. Ненулевые векторы перпендикулярны, если \vec a \cdot \vec b = 0; коллинеарны, если координаты пропорциональны (\vec b = k\vec a).
Квадрат суммы и разности. |\vec a \pm \vec b|^2 = |\vec a|^2 \pm 2\,\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2.
Симметрия и перенос. Симметрия относительно начала координат меняет знаки всех координат, относительно плоскости Oxy — только знак z. При параллельном переносе на \vec p координаты \vec p прибавляются к координатам точки.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Даны векторы \vec a\,(-2;\ -3;\ -5) и \vec b\,(1;\ 2;\ 2). При каком значении k вектор \vec a+k\vec b перпендикулярен вектору \vec b?

A)-2
B)18
C)2
D)0{,}5

Ответ и разбор

Верный ответ: C

Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю: (\vec a+k\vec b)\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec b+k\,|\vec b|^2=0. Считаем: \vec a\cdot\vec b=-2\cdot1+(-3)\cdot2+(-5)\cdot2=-2-6-10=-18, |\vec b|^2=1+4+4=9. Отсюда -18+9k=0, то есть k=2 (вариант C). Вариант A (-2) получается при ошибке в знаке, когда переносят -18 в другую часть. Вариант B (18) — если забыть множитель |\vec b|^2 и решать -18+k=0. Вариант D (0{,}5) — если перепутать условие и искать перпендикулярность k\vec a+\vec b и \vec b: -18k+9=0.

A)14
B)16
C)8
D)\sqrt{130}

Ответ и разбор

Верный ответ: A

Скалярный квадрат разности: |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2, то есть 64=49-2\,\vec a\cdot\vec b+81, откуда 2\,\vec a\cdot\vec b=66. Тогда |\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=49+66+81=196 и |\vec a+\vec b|=\sqrt{196}=14. Ответ A. Почему неверны остальные: B — длины сложены: 7+9=16, но |\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b| только для сонаправленных векторов; C — при переходе к сумме не изменён знак у 2\,\vec a\cdot\vec b: 49-66+81=64, получается 8; D — скалярное произведение отброшено, как будто векторы перпендикулярны: \sqrt{49+81}=\sqrt{130}.

Типичные ошибки

Из координат начала вычитают координаты конца. Вектор \overrightarrow{AB} — это «конец минус начало», иначе меняется знак и скалярное произведение выходит неверным.
Считают, что |\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b|. Это верно только для сонаправленных векторов; в общем случае нужен квадрат суммы со скалярным произведением.
При симметрии относительно оси меняют знак не тех координат. Относительно оси Ox координата x сохраняется, а y и z меняют знак.
Ошибаются в знаках при умножении отрицательных координат, например (-3) \cdot 2. Записывай каждое произведение отдельно и только потом складывай.

Вопросы по теме

Как найти угол между векторами в пространстве?: Через скалярное произведение: \cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}, где \vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. Для ненулевых векторов: если скалярное произведение равно нулю, угол прямой; если положительно — угол меньше 90^\circ (острый или 0^\circ), если отрицательно — больше 90^\circ (тупой или 180^\circ).
Как найти точку, симметричную данной, в пространстве?: Для точки (x;\ y;\ z): относительно начала координат — (-x;\ -y;\ -z), относительно плоскости Oxy — (x;\ y;\ -z), относительно оси Ox — (x;\ -y;\ -z). Относительно точки M образ точки A равен 2M - A покоординатно, потому что M — середина отрезка между точкой и её образом.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.