ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Анализ бастамалары және мәтінді есептер

Есептің шартын функция мен теңдеу тіліне аударып, оларға туынды мен алғашқы функцияны қолдану жолы. Қозғалыс, жұмыс және ең үлкен мәнді табу есептерінде керек.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 07 Математикалық модельдеу мен талдау

ҰТО спецификациясының тармағы: 13 Математикалық анализ бастамалары. Математикалық модельдеудің көмегімен есеп шығару

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 6–7 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Жылдамдық, жол, ең үлкен және ең кіші мән туралы есептерде туынды мен алғашқы функцияны қолдану.
  • Мәтінді есептің шарты бойынша теңдеу немесе функция құру.
  • Құрылған модельді шешіп, жауапты есептің мағынасына қарай іріктеу.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Туындының механикалық мағынасы. s(t) жолды білдірсе, жылдамдық v(t) = s'(t), ал үдеу a(t) = v'(t).
  • Жылдамдық бойынша жол. Жол — жылдамдықтың алғашқы функциясы (v \ge 0 болса); s(0) = 0 болса, s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Мысалы, v = kt^2 үшін жол s = \frac{kt^3}{3} болады, v \cdot t емес.
  • Кездесу және қуып жету. Қарама-қарсы қозғалыста жақындау жылдамдығы v_1 + v_2, бір бағытта қуғанда v_1 - v_2 (v_1 — қуушының жылдамдығы). Біреуі ертерек шықса, алдымен екіншісі шыққан сәттегі араларындағы қашықтықты тап.
  • Арифметикалық прогрессия. Әр күнгі жұмыс көлемі алдыңғы күндегіден бірдей d санына көп болса: a_n = a_1 + (n-1)d, S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}.
  • Кесіндідегі ең үлкен мән. Кесіндіде үзіліссіз функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін кесінді ішіндегі кризистік нүктелердегі және ұштарындағы мәндерінің арасынан іздейді.
  • Түбірлерді іріктеу. Түбірлерді есептің мағынасы бойынша тексереді: уақыт пен ұзындық оң, күн саны натурал сан болуы керек.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Арақашықтығы 72 км екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы екі велосипедші шықты. Біріншісі 12 км/сағ жылдамдықпен жүреді, екіншісі 1 сағ кейін шығып, 18 км/сағ жылдамдықпен жүреді. Екінші велосипедші шыққаннан кейін неше сағаттан соң олар кездеседі?
  • A)2{,}4 сағ
  • B)2 сағ
  • C)3 сағ
  • D)10 сағ
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: B

1 сағатта бірінші велосипедші 12\cdot 1=12 км жүреді, олардың арасында 72-12=60 км қалады. Жақындау жылдамдығы 12+18=30 км/сағ, кездескенге дейінгі уақыт 60:30=2 сағ (B жауабы). A: 2{,}4 сағ =72:30 — біріншінің жалғыз жүрген сағаты ескерілмеген. C: 3 сағ — бірінші велосипедшінің жолдағы уақыты (2+1), ал сұрақ екіншісі туралы. D: 10 сағ =60:(18-12) — жылдамдықтар қуып жету кезіндегідей азайтылған.
Екі дене бір нүктеден бір мезгілде бір бағытта қозғала бастайды. Біріншісі тұрақты 18 м/с жылдамдықпен қозғалады. Екіншісі тыныштық күйінен қозғалады, оның жылдамдығы қозғалыс басталғаннан бергі уақыттың квадратына пропорционал және қозғалыс басталғаннан 2 с өткенде оның жылдамдығы 6 м/с болды. Неше секундтан кейін екінші дене біріншісін қуып жетеді?
  • A)3 с
  • B)24 с
  • C)36 с
  • D)6 с
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: D

Екінші дененің жылдамдығы уақыттың квадратына пропорционал: v(t) = kt^2. Шарт бойынша v(2) = 4k = 6, бұдан k = \frac{3}{2} және v(t) = \frac{3t^2}{2}. Екінші дененің жолы — s_2(0) = 0 шартын қанағаттандыратын жылдамдықтың алғашқы функциясы: s_2(t) = \int_0^t \frac{3\tau^2}{2}\,d\tau = \frac{t^3}{2}. Бірінші дененің жолы: s_1 = 18t. Жолдар тең болғанда екінші дене біріншісін қуып жетеді: \frac{t^3}{2} = 18t, t(t^2 - 36) = 0. t = 0 түбірі — қозғалыстың басталу сәті, ол жарамайды; t^2 = 36, t = 6 с. Тексеру: s_1 = 18 \cdot 6 = 108 м, s_2 = \frac{216}{2} = 108 м. Жауабы D. Қате нұсқалар: A (3 с) — \frac{t^3}{2} = 18t теңдеуін шешкенде 18 саны 2-ге көбейтудің орнына бөлінген: t^2 = 9, t = 3; B (24 с) — екінші дененің жолы бірқалыпты үдемелі қозғалыстың \frac{kt^2}{2} = \frac{3t^2}{4} формуласымен алынған: онда \frac{3t^2}{4} = 18t, t = 24; C (36 с) — t^2 = 36 теңдігінен квадрат түбір алынбаған. Жолды v \cdot t = \frac{3t^3}{2} деп алса немесе жылдамдықтарды теңестірсе (\frac{3t^2}{2} = 18), t^2 = 12 шығады — мұндай жауап нұсқалар арасында жоқ.

Жиі кететін қателер

  • Жылдамдық уақыт бойынша өзгерсе де, жолды v \cdot t деп есептеу. Жылдамдық айнымалы болса, жол алғашқы функция арқылы табылады.
  • Кез келген үдемелі қозғалысқа \frac{at^2}{2} формуласын қолдану. Ол үдеу тұрақты және дене тыныштық күйінен қозғала бастаса ғана дұрыс; бастапқы жылдамдық v_0 \ne 0 болса, жол v_0t + \frac{at^2}{2}-ге тең.
  • Біреуінің ертерек бастағанын ескермеу. Алдымен оның жалғыз өзі қанша жол жүргенін не жұмыс істегенін тауып, содан кейін ғана теңдеу құру керек.
  • Жауапқа теріс түбірді, оның модулін немесе t = 0 мәнін алу. Уақыт, ұзындық және күн саны есептің мағынасына сай болуы тиіс.

Тақырып бойынша сұрақтар

Жылдамдық уақыттың функциясы ретінде берілсе, жол қалай табылады?
Жол — жылдамдықтың алғашқы функциясы (жылдамдық теріс болмаса). Бастапқы сәтте жол нөлге тең болса, s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Мысалы, v = 3t^2 болғанда s = t^3, яғни 2 с ішінде дене 8 м жүреді. Жылдамдық теріс болмаса, t_1-ден t_2-ге дейінгі уақыттағы жол \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt интегралына тең.
Функцияның кесіндідегі ең үлкен мәні қалай табылады?
Туынды мен кесінді ішіндегі кризистік нүктелерді тауып, функцияның сол нүктелердегі және кесінді ұштарындағы мәндерін есептейді де, ең үлкенін таңдайды. Мысалы, [0;\,2] кесіндісінде f(x) = x^3 - 3x үшін f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 теңдеуінің түбірлері x = \pm 1, кесіндіде тек x = 1 жатыр; f(0) = 0, f(1) = -2, f(2) = 2. Ең үлкен мәні 2, ең кішісі -2.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.