ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Прогрессия — тұрақты айырыммен не тұрақты еселікпен өзгеретін тізбек. Оның формулалары қосынды, пайыз және өсім есептерінде керек.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 06 Тізбектер

ҰТО спецификациясының тармағы: 12 Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1–2 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесін, айырымын және алғашқы n мүшесінің қосындысын таба білу.
  • Геометриялық прогрессияның мүшесін, еселігін және қосындысын, оның ішінде шексіз кемімелі прогрессия қосындысын таба білу.
  • Екі прогрессия байланысқан есептерде олардың қасиеттерін қолдана білу.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Арифметикалық. a_n=a_1+(n-1)d, мұндағы d — айырым; S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}.
  • Мүшелер қасиеті. Бірінші мүшесінен басқа (прогрессия ақырлы болса, соңғысынан да басқа) әр мүше көршілерінің арифметикалық ортасына тең: a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. m+k=p+q болса, a_m+a_k=a_p+a_q.
  • Геометриялық. b_n=b_1\cdot q^{n-1}, мұндағы q\ne 0 — еселік; q\ne 1 болса, қосындысы S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.
  • Геометриялық прогрессия белгісі. Нөлге тең емес мүшелер үшін b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}: үш санның геометриялық прогрессия құрайтынын осылай тексереді.
  • Шексіз кемімелі. |q|<1 болса, барлық мүшелерінің қосындысы S=\frac{b_1}{1-q}.
  • Үш сан. Арифметикалық прогрессияның қатар тұрған үш мүшесін a-d, a, a+d деп алған ыңғайлы: қосындысы 3a.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Арифметикалық прогрессияда a_4 + a_{10} = 18. Прогрессияның алғашқы он үш мүшесінің S_{13} қосындысын табыңыз.
  • A)234
  • B)63
  • C)108
  • D)117
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: D

Арифметикалық прогрессияда нөмірлерінің қосындысы тең мүшелердің қосындылары тең: 1 + 13 = 4 + 10, сондықтан a_1 + a_{13} = a_4 + a_{10} = 18. Онда S_{13} = \frac{(a_1 + a_{13}) \cdot 13}{2} = \frac{18 \cdot 13}{2} = 117. 234 жауабы — 2 санына бөлу ұмытылған: 18 \cdot 13 = 234. 63 жауабы — тек a_4 мүшесінен a_{10} мүшесіне дейінгі мүшелердің қосындысы табылған, олардың саны n = 7: \frac{18 \cdot 7}{2} = 63. 108 жауабы — мүшелер саны 12 деп алынған, ал керегі — 13: \frac{18 \cdot 12}{2} = 108.
Өспелі арифметикалық прогрессия құрайтын үш санның қосындысы 15-ке тең. Бұл сандарға сәйкесінше 1, 4 және 19 қосса, геометриялық прогрессия шығады. Бастапқы сандардың ең үлкенін табыңыз.
  • A)27
  • B)26
  • C)8
  • D)3
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Сандар: a - d, a, a + d, мұнда d > 0. 3a = 15 теңдігінен a = 5. Қосқаннан кейін: 6 - d, 9, 24 + d. Геометриялық прогрессия шарты: (6 - d)(24 + d) = 81, яғни 144 - 18d - d^2 = 81, d^2 + 18d - 63 = 0, бұдан d = 3 немесе d = -21. Прогрессия өспелі, сондықтан d = 3: сандар 2, 5, 8 (тексеру: 3, 9, 27 — геометриялық прогрессия). Ең үлкені 8. Жауабы C. A (27): бастапқы санның емес, геометриялық прогрессияның ең үлкен мүшесін көрсеткен. B (26): прогрессияның өспелі екенін ескермей, d = -21 алған (немесе таңбада қателесіп, d^2 - 18d - 63 = 0, d = 21 алған): 5 + 21 = 26. D (3): жауапқа санның өзін емес, d айырымын жазған.

Жиі кететін қателер

  • a_1+(n-1)d орнына a_n=a_1+nd деп жазады. Формулаға n=1 қойып көр: a_1 шығуы керек.
  • Арифметикалық прогрессия қосындысында 2-ге бөлуді ұмытады не мүшелерді қате санайды: a_4-тен a_{10}-ға дейін 6 емес, 7 мүше бар.
  • S=\frac{b_1}{1-q} формуласын |q|\ge 1 болғанда да қолданады. Ол тек |q|<1 болғанда дұрыс.
  • Артық түбірді алып тастамайды: өспелі арифметикалық прогрессияда d>0. Табылған d мен q мәнін есеп шартымен салыстыр.

Тақырып бойынша сұрақтар

a_4+a_{10} қосындысы белгілі болса, арифметикалық прогрессияның S_{13} қосындысы қалай табылады?
Нөмірлердің қосындысы бірдей: 1+13=4+10, демек a_1+a_{13}=a_4+a_{10}. Осы мәнді S_{13}=\frac{(a_1+a_{13})\cdot 13}{2} формуласына қояды. Мысалы, a_4+a_{10}=10 болса, S_{13}=\frac{10\cdot 13}{2}=65.
Үш санның геометриялық прогрессия құрайтынын қалай тексеруге болады?
Нөлге тең емес a, b, c сандары үшін b^2=a\cdot c теңдігін тексереді, яғни \frac{b}{a} мен \frac{c}{b} қатынастары тең болуы керек. Мысалы, 3, 9, 27 үшін 9^2=81=3\cdot 27, еселігі q=3.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.