ENTLab
РУСҚазақша
← Барлық тақырып: Математика

Математика · ҰБТ-ға арналған теория

Теңсіздіктер жүйесін шешу

Жүйедегі теңсіздіктердің бәрі бір мезгілде орындалуы керек. Әрқайсысын жеке шешеді, ал жауабы — барлық шешімнің ортақ бөлігі.

Осы тақырып бойынша жаттығуТолық қолжетімділік болса — осы тақырып бойынша жаттығу, болмаса — пән бойынша тегін тест.

ҰБТ бұл тақырыптан нені тексереді

Бөлім: 05 Теңсіздіктер жүйесі

ҰТО спецификациясының тармағы: 11 Сызықтық теңсіздіктер жүйесі. Бір айнымалысы бар бөлшек-рационал теңсіздіктер жүйесі. Сызықтық емес теңсіздіктер жүйесі. Көрсеткіштік теңсіздіктер жүйесі. Логарифмдік теңсіздіктер жүйесі

Біздің бағалауымызша, нұсқада бұл тақырып бойынша орта есеппен 1 тапсырма болады (40 тапсырманың ішінде).

Осы пән бойынша ҰБТ 2026 спецификациясы: тақырыптар мен тапсырмалар

Не істей білу керек

  • Сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешіп, жауабын аралық түрінде жаза білу.
  • Бір айнымалысы бар бөлшек-рационал және сызықтық емес теңсіздіктер жүйесін шеше білу.
  • Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйесін анықталу облысын ескеріп шеше білу.

Ең бастысы туралы қысқаша

  • Қиылысу. Жүйенің шешімі — барлық теңсіздік шешімдерінің қиылысы. Аралықтарды бір түзуге салып, штрихтар қабаттасқан бөлігін ал.
  • Ортақ нүкте жоқ. Ортақ бөлік болмаса, жүйенің шешімі жоқ: мысалы, x>3 және x<1.
  • Бөлшек теңсіздіктер. \frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0 теңсіздігі интервалдар әдісімен шешіледі; Q(x)\ne 0 шарты бүкіл жүйеге ортақ.
  • Көрсеткіштік. Екі жағын бір негізге келтір: 243=3^5, 8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}. a>1 болса таңба сақталады, 0 < a < 1 болса ауысады.
  • Логарифмдік. Санды логарифм түрінде жазады: c=\log_a a^c. Алдымен жүйедегі барлық логарифмнің анықталу облысын жазып, кейін шешімдермен қиылыстыр.
  • Бүтін шешімдер. Ұштары бүтін [m; n] кесіндісінде n-m+1 бүтін сан бар, қосындысы \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}. Қатаң теңсіздіктің шекарасы есепке кірмейді.

Талдауы бар тапсырмалар

ENTLab тапсырмалар қорынан, ҰТО нұсқаларынан емес. Алдымен өзің шешіп көр, содан кейін талдауын аш.

Теңсіздіктер жүйесінің бүтін шешімдерінің қосындысын табыңыз: \begin{cases} \log_{2}(x-1)\le 3,\\ \log_{\frac{1}{3}}x<-1. \end{cases}
  • A)39
  • B)42
  • C)30
  • D)2
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: A

Анықталу облысы: x>1. Бірінші: x-1\le 2^3=8, x\le 9; анықталу облысымен бірге 1<x\le 9. Екінші: -1=\log_{\frac{1}{3}}3; негізі \frac{1}{3}<1, таңба қарама-қарсыға ауысады: x>3. Қиылысуы: 3<x\le 9. Бүтін шешімдері: 4, 5, 6, 7, 8, 9; қосындысы 4+5+6+7+8+9=39. Жауабы A. B нұсқасы (42) — теңсіздік қатаң болса да, x=3 қосылған: 39+3=42. C нұсқасы (30) — x-1\le 8 теңсіздігінен x\le 8 алынған (бірлік жоғалған): 4+5+6+7+8=30. D нұсқасы (2) — негізі 1-ден кіші болғанда таңба ауыстырылмаған: x<3, анықталу облысымен 1<x<3, жалғыз бүтін шешім 2.
Теңсіздіктер жүйесінің бүтін шешімдерінің қосындысын табыңыз: \begin{cases} x^2-6x-16\le 0,\\ 2x-1>0. \end{cases}
  • A)33
  • B)35
  • C)36
  • D)28
Жауабы мен талдауы

Дұрыс жауап: C

Бірінші теңсіздік: x^2-6x-16\le 0; дискриминант D=36+64=100, түбірлері x_1=-2, x_2=8, сондықтан -2\le x\le 8. Екінші теңсіздік: 2x>1, бұдан x>\frac{1}{2}. Жүйенің шешімі: \frac{1}{2}<x\le 8. Бүтін шешімдер: 1\le x\le 8, олардың саны 8, қосындысы \frac{(1+8)\cdot 8}{2}=36. Екінші теңсіздікті ескермей, -2\le x\le 8 аралығындағы барлық бүтін сандарды қосса, 33 шығады; 2x>1 теңсіздігінен екіге бөлмей x>1 алса, 35 шығады; қатаң емес теңсіздікті қатаң деп алып, x=8 мәнін жоғалтса, 28 шығады.

Жиі кететін қателер

  • Шешімдерді қиылыстырудың орнына біріктіреді. Жүйеге барлық теңсіздікті бірден қанағаттандыратын нүктелер ғана жарайды.
  • Бір теңсіздікті, көбіне қарапайым сызықтығын, ұмытып кетеді. Жауап жазар алдында аралықты әр теңсіздікпен салыстыр.
  • Анықталу облысын ескермейді: \log_2(x-1) үшін x>1 шарты жоғалып кетеді. Оны бірінші жолға жаз.
  • Бүтін шешімдерді санағанда шетінде қателеседі: қатаң теңсіздіктің шекарасын қосады не қатаң емес теңсіздіктің шекарасын есепке алмай қалады. Әр шетін бөлек тексер.

Тақырып бойынша сұрақтар

Теңсіздіктер жүйесі мен жиынтығының айырмашылығы неде?
Жүйеде теңсіздіктер бір мезгілде орындалуы керек, сондықтан жауабы — шешімдердің қиылысы. Жиынтықта ең болмағанда біреуінің орындалуы жеткілікті, жауабы — шешімдердің бірігуі. Жүйені фигуралық жақшамен, жиынтықты квадрат жақшамен белгілейді.
Теңсіздіктер жүйесінің бүтін шешімдері қалай табылады?
Әр теңсіздікті шешіп, қиылысын тауып, аралық түрінде жаз. Сосын сол аралықтағы бүтін сандарды теріп ал, шеттерін бөлек тексер: шекара жүйедегі барлық теңсіздікті және анықталу облысын қанағаттандырса ғана кіреді. Мысалы, \frac{1}{2} < x\le 8 болса, бүтін шешімдер 1-ден 8-ге дейін, барлығы 8.
Осы тақырып бойынша жаттығу

ENTLab теорияны ҰТО спецификациясы негізінде өз сөзімен жазады. Біз ҰТО емеспіз және онымен ешқандай байланысымыз жоқ.