Зачем в системах с корнями и логарифмами вводят новые переменные?

Замена превращает сложную систему в обычную алгебраическую. Например, в системе sqrtx + sqrty = 4, x - y = 8 после замены u = sqrtx, v = sqrty получаем u + v = 4, u^2 - v^2 = 8, откуда u - v = 2, u = 3, v = 1. Возвращаясь, находим x = 9, y = 1. Новые переменные должны соблюдать свои ограничения, например u ≥ 0.

Как решить систему вида 2^x · 2^y = 32, 2^x : 2^y = 2?

По свойствам степеней 2^x+y = 2^5 и 2^x-y = 2^1, то есть x + y = 5 и x - y = 1. Складывая, получаем 2x = 6, x = 3, а затем y = 2. Проверка: 2^3 · 2^2 = 32 и 2^3 : 2^2 = 2.

← Все темы: Математика

Математика · теория к ЕНТ

Системы с логарифмами, степенями, корнями и тригонометрией

Системы, где неизвестные стоят под корнем, в показателе степени, под логарифмом или под знаком тригонометрической функции. Обычно их сводят заменой к знакомой алгебраической системе.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 03 Системы уравнений

Пункт спецификации НЦТ: 09 Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений

По нашей оценке, в варианте в среднем 1 задание по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

Решать системы тригонометрических и иррациональных уравнений
Решать системы показательных и логарифмических уравнений
Сводить систему к алгебраической заменой переменных и отбирать решения с учётом ОДЗ

Кратко о главном

Замена переменных. Повторяющиеся выражения обозначают новыми буквами: u = \sqrt{x}, u = 2^x, u = \log_2 x. Решают алгебраическую систему и возвращаются к x, y.
Корни. При x \ge 0, y \ge 0 удобно разложение x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}). Помни: \sqrt{x} \ge 0 и (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y.
Логарифмы. Выражения \log_a x и \log_a y заменяют на u и v и решают систему относительно них. ОДЗ: x > 0, y > 0.
Степени. По свойствам a^x \cdot a^y = a^{x+y} и a^x : a^y = a^{x-y} уравнения приводят к виду a^{x+y} = a^m, a^{x-y} = a^k. При a > 0, a \ne 1 отсюда x + y = m, x - y = k.
Тригонометрия. Если дано x + y = c, во второе уравнение подставляют y = c - x и применяют формулы приведения или сложения; ответ пишут с n \in \mathbb{Z}.
Проверка. Возведение в квадрат и потенцирование могут дать посторонние решения, поэтому найденные пары подставляют в исходную систему.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Пусть (x_0; y_0) — решение системы \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x - y = 15 \end{cases}. Найдите x_0.

A)16
B)4
C)20
D)1

Ответ и разбор

Верный ответ: A

Так как x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}), получаем \sqrt{x} - \sqrt{y} = 15 : 5 = 3. Складывая с первым уравнением: 2\sqrt{x} = 5 + 3 = 8, \sqrt{x} = 4, x_0 = 4^2 = 16; тогда \sqrt{y} = 5 - 4 = 1, y_0 = 1^2 = 1. Проверка: 16 - 1 = 15. Ответ 16 — вариант A. Ошибки: 4 — найдено \sqrt{x}, но не возведено в квадрат; 20 — первое уравнение возведено в квадрат без слагаемого 2\sqrt{xy}: вышла система из уравнений x + y = 25, x - y = 15, откуда x = (25 + 15) : 2 = 20; 1 — указано y_0 вместо x_0.

Пусть (x_0; y_0) — решение системы \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10, \\ x - y = 80 \end{cases}. Найдите x_0.

A)81
B)9
C)90
D)1

Ответ и разбор

Верный ответ: A

Так как x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}), получаем \sqrt{x} - \sqrt{y} = 80 : 10 = 8. Складывая с первым уравнением: 2\sqrt{x} = 10 + 8 = 18, \sqrt{x} = 9, x_0 = 9^2 = 81; тогда \sqrt{y} = 10 - 9 = 1, y_0 = 1^2 = 1. Проверка: 81 - 1 = 80. Ответ 81 — вариант A. Ошибки: 9 — найдено \sqrt{x}, но не возведено в квадрат; 90 — первое уравнение возведено в квадрат без слагаемого 2\sqrt{xy}: вышла система из уравнений x + y = 100, x - y = 80, откуда x = (100 + 80) : 2 = 90; 1 — указано y_0 вместо x_0.

Типичные ошибки

Найдя \sqrt{x} = 4, пишут в ответ 4 и забывают возвести в квадрат. После замены обязательно вернись к исходной переменной.
Возводят \sqrt{x} + \sqrt{y} в квадрат как x + y и теряют слагаемое 2\sqrt{xy}. Квадрат суммы не равен сумме квадратов.
Заменяют \log_2 x + \log_2 y на \log_2(x+y). Верно: \log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy).
Не учитывают ограничения новых переменных: u = \sqrt{x} не бывает отрицательным, а u = 2^x — отрицательным или нулём. Такие значения отбрасывают.

Вопросы по теме

Зачем в системах с корнями и логарифмами вводят новые переменные?: Замена превращает сложную систему в обычную алгебраическую. Например, в системе \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, x - y = 8 после замены u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y} получаем u + v = 4, u^2 - v^2 = 8, откуда u - v = 2, u = 3, v = 1. Возвращаясь, находим x = 9, y = 1. Новые переменные должны соблюдать свои ограничения, например u \ge 0.
Как решить систему вида 2^x \cdot 2^y = 32, 2^x : 2^y = 2?: По свойствам степеней 2^{x+y} = 2^5 и 2^{x-y} = 2^1, то есть x + y = 5 и x - y = 1. Складывая, получаем 2x = 6, x = 3, а затем y = 2. Проверка: 2^3 \cdot 2^2 = 32 и 2^3 : 2^2 = 2.

Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.