ENTLab
РусскийҚАЗ
← Все темы: Физика

Физика · теория к ЕНТ

Механические колебания: маятники и период

Механические колебания — движения тела, которые повторяются точно или почти точно через равные промежутки времени, как качание маятника или груза на пружине. Тема нужна для задач о периоде и энергии маятников.

Потренировать эту темуС полным доступом — тренировка по этой теме, без него — бесплатный тест по предмету.

Что проверяет ЕНТ по этой теме

Раздел: 04 Электромагнитные колебания

Пункт спецификации НЦТ: 15 Механические колебания

По нашей оценке, в варианте в среднем 1–2 задания по этой теме из 40.

Спецификация ЕНТ 2026 по этому предмету: темы и задания

Что нужно уметь

  • Вычислять период, частоту и циклическую частоту колебаний
  • Применять формулы периода математического и пружинного маятников и находить, как меняется период
  • Описывать превращения энергии при колебаниях и находить смещение, скорость и ускорение по уравнению

Кратко о главном

  • Период и частота. T = \frac{t}{N} — период (с), где N — число полных колебаний за время t; \nu = \frac{1}{T} — частота (Гц), \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} — циклическая частота (рад/с).
  • Гармонические колебания. x = A\cos(\omega t + \varphi_0), где A — амплитуда, \varphi_0 — начальная фаза. Наибольшая скорость v_{\max} = A\omega, наибольшее ускорение a_{\max} = A\omega^2.
  • Математический маятник. T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, где l — длина нити. Формула верна при малых углах отклонения; от массы груза и амплитуды период не зависит.
  • Пружинный маятник. T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, где m — масса груза, k — жёсткость пружины (Н/м). Период не зависит ни от амплитуды, ни от g.
  • Энергия. Для пружинного маятника без трения E = \frac{kA^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}: энергии переходят друг в друга, сумма постоянна.
  • Резонанс. Если частота внешней силы близка к собственной частоте системы, амплитуда вынужденных колебаний резко растёт.

Задания с разбором

Из банка заданий ENTLab, не из вариантов НЦТ. Сначала попробуй решить, потом открой разбор.

Длину нити математического маятника увеличили в 2 раза и перенесли маятник туда, где ускорение свободного падения в 2 раза меньше. Период колебаний маятника
  • A)увеличится в 4 раза
  • B)увеличится в 2 раза
  • C)не изменится
  • D)увеличится в \sqrt{2} раза
Ответ и разбор

Верный ответ: B

Период математического маятника T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. После изменений \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{2l}{g/2}\cdot\frac{g}{l}} = \sqrt{4} = 2: период увеличится в 2 раза, ответ B. Обе перемены действуют в одну сторону: и рост длины, и уменьшение g увеличивают период. Вариант A — забыт квадратный корень: отношение \frac{l}{g} выросло в 4 раза, но период растёт как корень из него. Вариант C — решили, что изменения компенсируют друг друга, хотя l стоит в числителе, а g — в знаменателе. Вариант D — учтено только одно изменение (длины или g).
Массу груза пружинного маятника увеличили в 2 раза, а жёсткость пружины — в 8 раз. Период колебаний маятника при этом
  • A)увеличится в 2 раза
  • B)увеличится в 4 раза
  • C)уменьшится в 4 раза
  • D)уменьшится в 2 раза
Ответ и разбор

Верный ответ: D

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. Новый период T' = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{8k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} = \frac{T}{2} — период уменьшится в 2 раза. «Уменьшится в 4 раза» — забыт квадратный корень: отношение \frac{2}{8} = \frac{1}{4} принято за отношение периодов. «Увеличится в 2 раза» — перевёрнута формула: T \sim \sqrt{\frac{k}{m}}. «Увеличится в 4 раза» — перевёрнута формула и забыт корень.

Типичные ошибки

  • Забывают квадратный корень: если длина нити выросла в 4 раза, период увеличится в 2 раза, а не в 4.
  • Путают, где что стоит: в T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} масса в числителе, а в формуле математического маятника массы нет — период от неё не зависит.
  • Считают, что период пружинного маятника меняется на Луне или в лифте, движущемся с ускорением. От g зависит период математического маятника, а пружинного — нет.
  • Путают частоту \nu и циклическую частоту \omega: они различаются в 2\pi раз. В уравнении x = 0{,}1\cos 4\pi t имеем \omega = 4\pi рад/с, а \nu = 2 Гц.

Вопросы по теме

От чего зависит период математического маятника?
Период T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} определяется длиной нити l и ускорением свободного падения g: он пропорционален \sqrt{l} и обратно пропорционален \sqrt{g}. От массы груза, а при малых углах отклонения и от амплитуды, период не зависит. Например, если удлинить нить в 9 раз, период вырастет в 3 раза.
Где у груза на пружине наибольшая скорость, а где наибольшее ускорение?
Скорость наибольшая, когда груз проходит положение равновесия: там вся энергия кинетическая и v_{\max} = A\omega, а ускорение равно нулю. В крайних точках скорость равна нулю, энергия целиком потенциальная, а ускорение по модулю наибольшее: a_{\max} = A\omega^2.
Потренировать эту тему

ENTLab пишет теорию своими словами на основе спецификации НЦТ. Мы не НЦТ и никак с ним не связаны.